B
Jeder mit einem Begriff verbundene (fettgedruckte) Hyperlink führt in ein Kapitel der Mathematischen Hintergründe.
Grün geschriebene
Begriffe haben noch keine Eintragung.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
B
Basis
ist beim Bilden einer
Potenz
a
m
die Bezeichnung der Zahl
a
, die zur Potenz erhoben wird.
Der Begriff der Basis tritt auch in Zusammenhang mit dem
Logarithmus
auf, wenn vom "
Logarithmus zu einer
bestimmten
Basis
" gesprochen wird. Siehe auch
Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen
.
Beschränkt
Eine
Funktion
f
:
A
®
R
mit beliebigem
Definitionsbereich
A
heißt
nach oben beschränkt
, wenn es eine Zahl
c
gibt, die von keinem Funktionswert überschritten wird:
f
(
x
)
£
c
"
x
Î
A
. Die Zahl
c
heißt
obere Schranke
von
f
. (Ist
A
Í
R
, so liegt der
Graph
von
f
dann
unterhalb
einer zur
x
-Achse parallelen Geraden).
Eine Funktion heißt
nach unten beschränkt
, wenn es eine Zahl
k
gibt, die von keinem Funktionswert unterschritten wird:
f
(
x
)
³
k
"
x
Î
A
. Die Zahl
k
heißt
untere Schranke
von
f
. (Ist
A
Í
R
, so liegt der Graph von
f
oberhalb
einer zur
x
-Achse parallelen Geraden).
Eine Funktion, die nach oben
und
nach unten beschränkt ist, wird ohne weitere Angabe als
beschränkt
bezeichnet.
Bestimmtes Integral
Ist
f
eine
reelle Funktion
, so verstehen wir unter dem
bestimmten Integral
ò
a
b
f
(
x
)
d
x
(ausgesprochen: "Integral
f
(
x
)
in den Grenzen von
a
bis
b
" oder "Integral über
f
(
x
)
von
a
bis
b
") den
orientierten
Inhalt der Fläche unter dem
Graphen
von
f
zwischen den Stellen
a
und
b
.
f
(
x
)
heißt
Integrand
,
a
und
b
sind die (
untere
und
obere
) Integralgrenze, das
Intervall
[
a
,
b
]
heißt
Integrationsbereich
(auch Integrationsintervall oder Integrationsgebiet). Die
Integrationsvariable
x
kann auch mit einem beliebigen anderen Namen bezeichnet werden, d.h.
ò
a
b
f
(
x
)
d
x
stellt dieselbe Zahl dar wie
ò
a
b
f
(
x
)
d
x
.
Der Idee des orientierten Flächeninhalts unter dem Graphen kann für viele (unter anderem für alle
stetigen
und
stückweise stetigen
) Funktionen ein Sinn gegeben werden. Die präzise Ausformulierung dieser Idee des Integrals als Grenzwert von Summen erfolgte historisch zum ersten Mal in Form des
Riemann-Integrals
. Funktionen, die diese Konstruktion zulassen, nennen wir (Riemann-)
integrierbar
.
Für stetige Funktionen existiert eine besondere Berechnungsmethode: Ist
f
stetig, so existiert eine
Stammfunktionen
, d.h. eine
differenzierbare
Funktion
F
, deren Ableitung
f
ist. Der
Hauptsatz
der Differential- und Integralrechnung besagt dann, dass
ò
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
-
F
(
a
)
gilt. Diese Differenz wird beim Rechnen auch in der Form
F
(
x
)
|
a
b
geschrieben.
Beispiel:
ò
0
1
3
x
2
d
x
=
x
3
|
0
1
= 1
3
-
0
3
= 1
.
Eine Reihe von
Integrationsregeln
hilft, Stammfunktionen zu finden und Vereinfachungsschritte durchzuführen. Mit ihrer Hilfe macht das Integral auch für
a
>
b
Sinn. Eine kleine Auswahl bestimmter Integrale findet sich in unserer Liste
Das bestimmte Integral kann auch als eine kontinuierliche Verallgemeinerung des
Mittelwerts
und der Summe gedeutet werden. Es besitzt zahlreiche Anwendungen, unter anderem zur Berechnung von
Volumsinhalten
und der Lage von
Schwerpunkten
.
Wandert in einem bestimmten Integral (zumindest) eine der Grenzen gegen (plus oder minus) unendlich oder wird der Integrationsbereich bis zu einer Unendlichkeitsstelle des Integranden ausgedehnt, so spricht man von einem
uneigentlichen Integral
. Beide Situationen sind damit verbunden, dass die "Fläche unter dem Graphen" ins Unendliche reicht.
Beweis durch vollständige Induktion
Siehe
Induktionsbeweis
.
Betrag einer reellen Zahl
bedeutet dasselbe wie
Absolutbetrag einer reellen Zahl
.
Betrag eines Vektors
Ein
Vektor
kann durch
Pfeile
dargestellt werden, die alle in dieselbe Richtung zeigen und dieselbe Länge haben. Letztere wird als
Betrag
des Vektors bezeichnet und mit demselben Symbol wie der
Absoutbetrag
von Zahlen bezeichnet. Für zweikomponentige Vektoren
a
= (
a
1
,
a
2
)
ist
|
a
| = (
a
1
2
+
a
2
2
)
1/2
, für dreikomponentige Vektoren
a
= (
a
1
,
a
2
,
a
3
)
gilt
|
a
| = (
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
)
1/2
.
Betragsfunktion
wird jene Funktion genannt, die jeder Zahl ihren
Absolutbetrag
zuordnet, d.h.
x
®
|
x
|
. Sie ist ein Beispiel für eine Funktion, deren einfachste Definition nicht als
Termdarstellung
, sondern mit Hilfe einer Fallunterscheidung geschieht:
|
x
|
=
{
x
wenn
x
³
0
-
x
wenn
x
<
0
Bezugssystem
ist ein in der Physik gebräuchliches Wort für
Koordinatensystem
(wobei durchaus auch die Zeit, zu der ein Ereignis stattfindet, als Koordinate angesehen wird).
Bijektiv
oder
eineindeutig
heißt eine
Funktion
f
:
A
®
B
, die
jedes
Element der Menge
B
(siehe
surjektiv
)
genau einmal
(siehe
injektiv
) trifft. (Kurz: eine Funktion ist bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist). Eine solche Funktion heißt auch
Bijektion
.
Eine bijektive Funktion stiftet eine
Eins-zu-eins-Zuordnung
(eine genaue Entsprechung) zwischen Elementen der Mengen
A
und
B
. Die beiden Mengen sind dann
gleichmächtig
(sie werden auch
isomorph
oder, schlampig, "gleich groß" genannt). Eine bijektive Funktion wird in diesem Sinn auch
Isomorphismus
genannt.
Die Zuordnungsvorschrift kann dann "umgedreht" werden und definiert die
inverse Funktion
(
Umkehrfunktion
)
f
-1
:
B
®
A
. Eine bijektive Funktion wird daher auch als
invertierbar
(
umkehrbar
) bezeichnet.
Sind
A
und
B
endliche Mengen
, so gibt es nur dann eine bijektive Funktion
A
®
B
, falls sie gleich viele Elemente besitzen.
Zwei Mengen lassen nicht immer eine bijektive Funktion zu. So gibt es zum Beispiel keine bijektive Funktion
N
®
R
. Das ist eine Variante der Aussage, daß die
reellen Zahlen
nicht
abzählbar
(sondern
überabzälbar
) sind.
Bild einer Funktion
bedeutet dasselbe wie
Wertebereich
.
Binomialkoeffizienten
sind jene Vorfaktoren, die sich durch das Ausmultiplizieren der Terme (
a
+
b
)
n
für
n
= 0, 1, 2, 3, 4... ergeben. Der
k
-te Koeffizient in der ausmultiplizierten Version von (
a
+
b
)
n
(wobei die Summanden nach absteigenden Potenzen von
a
geordnet werden und mit
k
= 0 zu zählen begonnen wird) wird als
æ
è
n
k
ö
ø
angeschrieben (siehe auch
Binomische Formeln
). Zwei direkte Formeln zur Berechnung der Binomialkoeffizienten sind
æ
è
n
k
ö
ø
=
n
(
n
- 1) (
n
- 2) ... (
n
-
k
+ 1) (
n
-
k
)
k
(
k
- 1) (
k
- 2) ... 2 × 1
und
æ
è
n
k
ö
ø
=
n
!
k
! (
n
-
k
)!
.
(Für die Bedeutung der Rufzeichen siehe
Faktorielle
). Eine weitere Berechnungsmethode ergibt sich über das
Pascalsche Dreieck
.
Binomische Formeln
werden die
Identitäten
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+ 2
a
b
+
b
2
(
a
-
b
)
2
=
a
2
- 2
a
b
+
b
2
(
a
+
b
) (
a
-
b
) =
a
2
-
b
2
genannt. Sie sind so wichtig, daß Sie sie auswendig kennen sollten!
Die Verallgemeinerungen der ersten dieser Formeln zur Berechnung von (
a
+
b
)
n
(siehe
Binomialkoeffizienten
) werden manchmal ebenfalls als Binomische Formeln bezeichnet.
Bit
Siehe
Information
.
Bogenmaß
In diesem
Winkelmaß
wird ein Winkel durch die Länge des entsprechenden
Bogens
am Einheitskreis gemessen. Der volle Kreis entspricht 2
p
. Wird ein Winkel im Bogenmaß angegeben, so
kann
die Angabe "rad" (für
Radiant
) angefügt werden: 60° ist
p
/3 rad (d.h. ungefähr 1.0472 rad). Manchmal wird für die Umrechnung eines Winkels ins Bogenmaß die Bezeichnung "arc" (lateinisch:
arcus
= der Bogen) verwendet, z.B. arc(60°) =
p
/3. Das Bogenmaß ist vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet
natürlicher
als das
Gradmaß
. Das wird beispielsweise durch die Näherungsformeln für die
Winkelfunktionen für kleine Winkel
deutlich.
Bruch
Ausdruck der Form
a
b
,
auch
a
/
b
oder
a
/
b
geschrieben, wobei
a
(der
Zähler
) und
b
(der
Nenner
)
Zahlen
sind. Ein Bruch bezeichnet einfach eine
Division
, stellt daher einen
Quotienten
dar. Der Nenner
b
muß von 0 verschieden sein (siehe
Division durch 0
). Zum Rechnen mit Brüchen siehe
Bruchrechnen
.
Bruchgleichung
Gleichung
, die Brüche beinhaltet, in deren Nenner die
Variable
vorkommt. Hier ist zu beachten, daß eine Division durch Null nicht wohldefiniert ist. Daher müssen alle Werte der Variablen, für die ein Nenner der Gleichung Null wird, aus der
Grundmenge
herausgenommen werden, um die
Definitionsmenge
zu erhalten.
Das Ermitteln jener Variablenwerte, für die ein Nenner Null wird, führt selbst auf eine Gleichung (nämlich auf die Gleichung
Nenner
= 0
).
Bruchzahlen
Ein (etwas schlampiger) Name für
rationale Zahlen
. Der Name meint
Brüche
der Form "ganze Zahl/ganze Zahl".
Bruchrechnen
hat, wie der Name sagt, das Rechnen mit
Brüchen
zum Thema. Die Rechenregeln für Brüche leiten sich aus jenen für die
Addition
, die
Multiplikation
und den davon abgeleiteten Operationen
Subtraktion
und
Division
her.
Zwei wichtige Regeln:
Kürzen
und
Erweitern
von Brüchen:
x
z
y
z
=
x
y
.
Kommen nur ganze Zahlen vor, so ist die güstigste Zahl, durch die ein Bruch gekürzt werden kann, der
größte gemeinsame Teiler
von Zähler und Nenner.
Addition
von Brüchen (''auf gemeinsamen Nenner bringen''): Sind die gegebenen Nenner ganze Zahlen, so ist der günstigste gemeinsame Nenner deren
kleinstes gemeinsames Vielfache
.
Für ''EinsteigerInnen'' steht ein kleiner
zum Thema Bruchrechnen zur Verfügung.
Byte
Siehe
Information
.
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