Was also ist eine Funktion? Unter einer Funktion kann man sich eine Input-Output-Maschine (Eingabe-Ausgabe-Maschine) vorstellen. Sie nimmt ein Ding als Eingabe entgegen und gibt daraufhin ein Ding aus. Und das macht sie nach einer genauen (eindeutigen) Vorschrift - gleiche Eingaben führen immer zu gleichen Ausgaben. Das ist alles!

"Ding" bedeutet vorläufig für uns "Zahl". Eine Funktion ist also für uns zunächst eine Maschine, die aus einer Eingabe-Zahl eine Ausgabe-Zahl macht. Hier haben wir eine solche Maschine:
 

Sie werden sicher nicht lange brauchen, um es herauszufinden: Die Maschine quadriert die Eingabe-Zahl! Es ist eine Quadrier-Maschine. Sie stellt die Idee dar, daß jeder Zahl x ihr Quadrat x² zugeordnet wird. Ihre Zuordnungsvorschrift heißt schlicht und einfach "quadrieren". Dadurch ist eine Funktion definiert. Wir könnten sie "Quadrier-Funktion" nennen.

Die Zuordnung ist eindeutig: Gleiche Eingaben führen immer zu gleichen Ausgaben, wie wir schon oben gesagt haben. Man könnte nun umgekehrt fragen, ob aus der Ausgabe auf die Eingabe rückgeschlossen werden kann. Wenn die Ausgabe die Zahl 4 ist - was war die Eingabe? Wenn Sie jetzt sagen "die Zahl 2", so haben Sie nicht ganz recht - es könnte auch -2 gewesen sein! Der Rückschluß auf die Eingabe ist also nicht zwangsläufig möglich! Die zwei Zahlenfelder in unserer Quadrier-Maschine sind nicht "gleichberechtigt". Wenn wir wissen, was im linken (Eingabe-)Feld steht, wissen wir, was im rechten (Ausgabe-)Feld steht (nämlich das Quadrat der Eingabe), aber aus der Kenntnis der Ausgabe folgt nicht notwendigerweise die Kenntnis der Eingabe. Funktionen arbeiten daher in einer "Richtung":

und diese Richtung ist auch in der obigen Maschine durch einen Pfeil gekennzeichnet.

Nun betrachten wir eine andere Maschine:
 

Haben Sie es geschafft? Die Maschine verdoppelt die Eingabe-Zahl und subtrahiert 1. Die Zuordnungsvorschrift heißt jetzt "verdoppeln und 1 subtrahieren". Wir haben es hier mit der "Verdoppeln-und-1-subtrahieren-Funktion" zu tun, und Sie sehen sicher ein, daß es jetzt besser ist, eine abgekürzte Schreibweise zu verwenden, um zu beschreiben, was unsere Maschinen tut. Sie stellt einfach die Idee dar, daß jeder Zahl x die Zahl 2 x - 1 zugeordnet wird.

Wir haben bisher zwei Funktionen betrachtet:

• Die erste ordnet jeder Zahl x die Zahl x² zu,
• die zweite ordnet jeder Zahl x die Zahl 2 x - 1 zu.

• Die Funktion f ordnet jeder Zahl x die Zahl x² zu,
• die Funktion g ordnet jeder Zahl x die Zahl 2 x - 1 zu.

In derselben Weise wird die Wirkung der Funktion g kurz als

Die Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil drückt aus, daß hier von einer beliebigen Eingabe-Zahl ausgegangen wird und gemäß einer gewissen Vorschrift eine Ausgabe erfolgt. Es gibt auch gar keinen zwingenden Grund, die Eingabe-Zahl unbedingt mit dem Buchstaben x zu bezeichnen. So kann die Funktion f anstelle von (1) etwa auch in der Form

Die Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil kann auch angewandt werden, um anzuschreiben, was mit konkreten Eingabe-Zahlen unter der Wirkung einer Funktion geschieht, z.B. im Fall der Funktion f

Neben der Schweibweise mit Zuordnungs-Pfeil ist eine weitere Notation gebräuchlich, die in der Praxis sogar noch nützlicher ist.

Die Zeichen "f (3)" werden als "f  von 3" ausgesprochen. Daher auch unsere Bezeichnung "von"-Klammer. Diese Art von Klammern sollte nicht mit jenen verwechselt werden, die Symbole zusammenfassen. Die Klammern in (x + 1)² haben eine ganz andere Bedeutung als die in f (3) = 9 oder in (5).

Bei dieser Schreibweise gilt allgemein das Schema

So haben wir etwa

Der Vergleich einer Funktion mit einer Maschine ist hier besonders augenfällig: Zwischen den "von"-Klammern befindet sich, bildlich gesprochen, das Eingabefeld. Eine beliebige Zahl kann anstelle der Punkte in f (...) eingesetzt werden. Setzten wir z.B. die Zahl 12 ein, so bezeichnet f (12) das Ergebnis der Wirkung unserer Funktion f, also die Zahl 144. Folglich gilt f (12) = 144. Man sagt auch, die Funktion f wird auf die Zahl 12 angewandt (angewendet), und das Resultat (der Funktionswert) ist 144.

Wieder kommt es auf das verwendete Symbol nicht an, und wir können die Funktion f anstelle von (5) genausogut in der Form

Um diese Schreibweise kurz zu illustrieren, stellen wir die Frage, was f ( f (3)) ist. Das ist gar nicht so schwierig: Hier wird die Funktion f auf die Zahl 3 angewandt, und danach wird f nochmals auf das Resultat angewandt. Die Ausgabe der ersten Anwendung ist f (3) = 9, daher ist f ( f (3)) = f (9) = 81.

Unsere Funktion g kann ganz analog in der Form

Definition: Eine Funktion (auch Abbildung genannt)  f  "von der Menge A in die Menge B" ist eine Vorschrift, die jedem Element von A in eindeutiger Weise ein Element der Menge B zuordnet. Um auszudrücken, daß f eine solche Funktion ist, wird

Betrachten Sie etwa ein Thermometer, das an irgendeinem Ort hängt. Die von ihm angezeigte Temperatur wird nicht immer dieselbe sein, sondern sich mit der Zeit ändern, z.B. tages- oder jahreszeitlichen Schwankungen unterworfen sein. Mit anderen Worten, die Temperatur hängt vom Zeitpunkt ab, an dem sie gemessen wird. Dies stellt eine Input-Output-Maschine, d.h. eine Funktion dar: Zu jedem gegebenen Zeitpunkt t (Eingabe) wird eine bestimmte Temperatur T (Ausgabe) angezeigt. Man sagt, die Temperatur "ist eine Funktion der Zeit". Wie bereits oben bemerkt, ist es üblich, das Symbol für den Ausgabe-Wert ( hier T ) als Namen der Funktion zu verwenden. Jedem Zeitpunkt t ist dann eine Temperatur T(t) zugeordnet. Jedes konkrete Thermometer, das Sie sich aussuchen, definiert eine solche Funktion. Ob sich die Temperatur aufgrund einer Theorie berechnen läßt oder ob sie abgelesen werden muß, ist dabei unerheblich - in jedem Fall handelt es sich um eine Funktion, denn zu jedem Zeitpunkt t wird eine bestimmte Temperatur T angezeigt.

Folgende Begriffe, die in den mathematischen Wortschatz über Funktionen gehören, werden wir erwähnen:

    ... werden Sie sich vielleicht erschlagen fühlen, wenn Sie die folgende Vokabelsammlung lesen. Das haben Vokabelsammlungen leider so an sich. Wenn Sie sich schwer damit tun, versuchen Sie zumindest, sie zu überfliegen. An viele der hier vorgestellten Redewendungen werden Sie sich gewöhnen, wenn Sie sie selbst eine Zeitlang benützen.

Eine Funktion (oder Abbildung)  f : A ® B  (von der Menge A in die Menge ) ist eine Festlegung, die jedem Element x der Menge A ein Element der Menge B zuordnet. Dieses zugeordnete Element der Menge B wird als f (x) bezeichnet. Die Menge A heißt Definitionsbereich. Man sagt auch, dass f auf der Menge A definiert ist.

Schreibweisen für die Definition von Funktionen anhand eines Beispiels (die Funktion "quadrieren", mit A = B = R = Menge der reellen Zahlen):

• mit "von"-Klammer (siehe oben):      f (x) = x²
• mit Zuordnungs-Pfeil (siehe oben):    f : x ® x² (oder einfach x ® x²)

Das Symbol x steht für ein beliebiges Element der Menge A (Eingabe-Wert), das der Wirkung der Funktion unterworfen werden kann - man nennt es daher Variable (altmodischer Ausdruck: Veränderliche), da es für eine "variable" Größe steht (oder unabhängige Variable, da es beliebig - von nichts abhängig - vorgegeben werden kann). Eine andere Bezeichnung dafür ist Argument. Ein konkreter Wert der unabhängigen Variablen (des Arguments) wird auch als Stelle oder auch als x-Wert bezeichnet.
Aber Achtung: Der Buchstabe x ist für diesen Zweck zwar beliebt und weit verbreitet, es kann aber genausogut ein anderes Symbol verwendet werden. Die Schreibweise f º f(x) drückt aus, dass x das Argument der Funktion f ist. Dass beispielsweise eine Temperatur T von der Zeit t abhängt, kann als T º T(t) geschrieben werden.

Das einem konkreten Element x Î A zugeordnete Element f (x) Î B (Ausgabe-Wert) wird Funktionswert (oder auch Funktionswert an der Stelle x) genannt. Ist y ein Funktionswert (d.h. y = f (x) für ein x Î A), so sagt man auch, y wird von der Funktion getroffen.

Zur Illustration dieses Sprachgebrauchs: Wo hat die durch f (x) = x² definierte Funktion f den Wert 4? Antwort: An den Stellen -2 und 2. (Beachten Sie: Die Frage "wo?" bedeutet immer "an welcher Stelle?", also "für welchen Eingabe-Wert?")
Noch kürzere Sprechweise: Wo ist die Funktion gleich 4?

Die Funktion wirkt auf die Elemente von A, sie wird auf diese angewandt (angewendet). Elemente von A werden in die Funktion eingesetzt. Jedes Element von A wird auf ein Element von B abgebildet.

Manchmal wird auch ein eigenes Symbol für die möglichen Funktionswerte verwendet, z.B. der Buchstabe y. Das ist dann so gemeint, daß zu jedem x Î A (kurz: x-Wert, also Eingabe-Wert) ein y Î B (kurz: y-Wert, also Ausgabe-Wert) definiert ist, und war gemäß der Vorschrift y = f (x). Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn zwei Größen x und y betrachtet werden, und wenn der Wert von y immer (und in eindeutiger Weise) vom Wert von x abhängt.

Beispiel: Ein Fahrzeug fährt von Bregenz nach Wien, x steht für die seit Reisebeginn verstrichene Zeit, und y ist die zurückgelegte Strecke. Daher ist y eine Funktion von x. Die Größe y wird daher auch abhängige Variable (oder abhängige Größe) genannt.

Der funktionale Zusammenhang (die Zuordnungsvorschrift), der festlegt, welcher y-Wert aus einem gegebenen x-Wert entsteht ( also die zugrundeliegende Funktion f ) wird dann als y = f (x) angeschrieben. Manchmal wird kein eigener Buchstabe für die Funktion verwendet, sondern anstelle von f (x) - ein bißchen schlampig - einfach y (x) geschrieben. Das bringt zum Ausdruck, daß y von x abhängt. Man sagt auch: Der Größe x wird die Größe y zugeordnet, oder: x wird auf y abgebildet.

Auf analoge Weise definiert jeder Term (der von einer einzigen Variablen abhängt) eine Funktion! Es gibt also unermesslich viele Funktionen! Die Beschreibung der Wirkungsweise eine Funktion durch einen Term - wie es in allen Formeln (1) bis (7) und (9) geschehen ist - heißt Termdarstellung. Ein Term, der eine Funktion definiert, wird auch Funktionsausdruck genannt.

1. x ® 1/x (das Invertieren)
2. x ® Öx (die Wurzelfunktion)

1. eine Funktion, deren Definition eine Fallunterscheidung erfordert,
2. eine Funktion, die zwischen rationalen und irrationalen Zahlen unterscheidet,
3. jene Funktion N ® N, die die Primzahlen durchnumeriert, und
4. die Betragsfunktion

Eine Möglichkeit, sich einen ersten Überblick zu verschaffen, sind sogenannte Wertetabellen. Damit ist gemeint, in Form einer Tabelle mehrere x-Werten den zugehörigen Funktionswerten gegenüberzustellen, also einige Beispiele für die Wirkung der Funktion anzuschreiben.

Wir wollen das am Fall der Funktion g, die durch g(x) = 2 x - 1 definiert ist, vorführen. Schreiben Sie eine Schrittweite Ihrer Wahl (z.B. 1) in das untenstehende gleichnamige Textfeld und drücken Sie den Button "Tabelle erstellen"!

Sie können eine neue Schrittweite eingeben und den Button erneut drücken. Probieren Sie es mit den Werten 100,10, 0.5, 0.1 und 0.01 !

Verwenden Sie diese dynamische Tabelle, um folgende Fragen zu beantworten:

1. Wo (d.h. für welches x) ist der Funktionswert Null? (Versuchen Sie als Schrittweiten hintereinander 1 und 0.1. Welche Wahl ist zur Beantwortung der Frage sinnvoller?)
2. Wo (d.h. für welche x-Werte) ist die Funktion positiv?
3. Wie wirkt die Funktion - wenn nicht allzugenau hingeschaut wird -, wenn x eine sehr große Zahl ist? (Wählen Sie die Schrittweite 1000 !)

Ein in der Wertetabelle einer Funktion f auftretendes Zahlenpaar ist immer von der Form

Sehen wir uns das anhand eines konkreten Beispiels an!
Wir definieren

Nun betrachten wir dieselbe Funktion, aber eine umfangreichere Wertetabelle:

Werden die Zahlen entlang der Achsen und die Hilfslinien weggelassen, so sieht die Graphik so aus:

Fassen wir zusammen, was uns dieses Beispiel sagt:

Salopp wird die Vorschrift, einen Funktionsgraphen zu zeichnen so ausgedrückt, daß der zu einem Punkt auf der x-Achse gehörende Funktionswert "nach oben" (oder, wenn er negativ ist, "nach unten") aufgetragen wird.
Oder, noch kürzer: x wird horizontal, f(x) wird vertikal aufgetragen.
Die x-Achse bildet dabei das Reservoir an frei wählbaren Werten für die unabhängige Variable x.

Ist umgekehrt ein Punkt mit Koordinaten (x, y) in der Zeichenebene gegeben, so stellt er graphisch die Wirkung der Funktion auf den Eingabe-Wert x dar. Der Funktionswert f(x) kann als y-Koordinate abgelesen werden. Jede solche Ablesung ist, logisch gesehen, genau dasselbe wie das Lesen einer Zeile in einer Wertetabelle (und das ist wiederum, logisch gesehen, genau dasselbe wie die einmalige Eingabe eines Werts in eine "Funktionsmaschine" (siehe oben) und das Ablesen des zugehörigen Ausgabe-Werts).

Definition: Der Graph einer Funktion  f : R ® R  ist die Menge aller Paare (x, f(x)).
R ist wie immer die Menge der reellen Zahlen. Die Funktion f ordnet jeder reellen Zahl einen Funktionswert zu, und der Graph ist die Menge aller Paare
 

Da die Zeichenebene mit der Menge aller Zahlenpaare identifiziert wird, kann der Graph einer Funktion als Teilmenge der Zeichenebene betrachtet werden. Für die meisten uns interessierenden Funktionen ist er eine Kurve (eine Gerade oder eine gebogene Linie).

Das sehen wir uns wieder an dem Beispiel der durch f (x) = x² - 3 definierten Funktion f an (siehe oben). Ihr Graph sieht so aus:

Am Bildschirm (oder in jeder realen Zeichnung) ist ein Funktionsgraph nichts anderes als die graphische Darstellung einer umfangreichen Wertetabelle. Stellen Sie sich vor, eine Wertetabelle unserer Funktion f mit zweihundert x-Werten (zwischen x = -2.5 und x = 2.5) zur Verfügung zu haben. Zeichnen Sie jede Zeile als kleinen roten Fleck (Pixel) in ein Diagramm, so wird das Resultat wie die obige Kurve aussehen. Dieser praktische Aspekt des Graphen ist jedoch von seiner exakten mathematischen Bedeutung - als Menge aller Paare (x, f(x)) - zu unterscheiden. Für die meisten Funktionen, mit denen wir zu tun haben werden, ist der Graph eine kontinuierliche Linie - im Unterschied zur graphischen Darstellung einer Wertetabelle, die nur aus einzelnen, voneinander getrennten Punkten besteht (was - im Unterschied zu kontinuierlich - auch diskrete Struktur genannt wird).

Frage: Ist jede Kurve in der Zeichenebene der Graph einer Funktion?
Antwort: Nein, aber man kann einer Kurve leicht ansehen, ob sie Graph einer Funktion ist oder nicht:

• Hat eine Kurve die Eigenschaft, daß es zu jeder gegebenen x-Koordinate genau einen Punkt gibt, der auf der Kurve liegt, so ist sie der Graph einer Funktion  f : R ® R. Jeder Zahl x kann auf diese Weise der Funktionswert als y-Koordinate des entsprechenden (eindeutig bestimmten) Punktes zugeordnet werden.
• Hat eine Kurve in der Zeichenebene die Eigenschaft, daß es zu irgendeiner gegebenen x-Koordinate mehrere Punkte gibt, die auf der Kurve liegen, so ist sie nicht Graph einer Funktion.

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form

Sie können die Graphen dieser Funktionen (und noch zwei weiterer, damit verwandter) betrachten, indem Sie auf den Button

Folgender Button ruft eine kurze Besprechung dieser Funktionen auf. (Manche der Graphen sind Kurven, die in den verschiedensten Zusammenhängen auftreten und eigene Namen erhalten haben, insbesondere: erste und zweite Mediane, Parabel, Hyperbel).

Wie bereits oben erwähnt, heißt die Menge A der Definitionsbereich der Funktion f.
Ist f durch einen Term gegeben (siehe oben), so ist der Definitionsbereich zunächst die Menge aller x-Werte, für die der Term wohldefiniert ist. (Manchmal wird die Wirkung einer Funktion nur für eine Teilmenge dieses Bereichs benötigt. Dann kann die Menge A entsprechend "verkleinert" werden).

Die Menge aller Elemente von B, die von der Funktion "getroffen werden", d.h. die als Funktionswert von zumindest einem x Î A auftreten, heißt Wertebereich (oder Bild) der Funktion f. Für ihn wird manchmal die Schreibweise f (A) verwendet. Damit ist gemeint: { f(x) | x Î A }. Der Wertebereich ist entweder die Menge B selbst oder eine Teilmenge davon.

Der Wertebereich kann als "Menge aller am Graphen auftretenden y-Werte" ermittelt werden.
Es gibt dafür eine nette Veranschaulichung:
Ist der Graph einer Funktion eine "schöne" Kurve, so kann man ihn sich als Landstraße und die y-Koordinate jedes Punktes als dessen Seehöhe vorstellen. Die x-Achse entspricht dann dem Meeresniveau. Fährt ein Fahrzeug mit Höhenmesser die Straße entlang, so ist der Wertebereich de Funktion die Menge aller Höhen, die zumindest einmal gemessen werden.

Ist die Funktion an der Stelle x = 0 definiert (d.h. ist 0 Î A), so ist f (0) ein besonders wichtiges Element des Wertebereichs: Diese Zahl bestimmt den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse: sie einfach ist dessen y-Koordinate!

Nullstellen können leicht erkannt werden, wenn der Graph der Funktion einmal gezeichnet ist: Jedem Paar (x, f(x)) entspricht ein Punkt auf dem Graphen der Funktion. Ist x eine Nullstelle, so hat das Paar die Form (x, 0). Die y-Koordinate ist 0, was bedeutet, daß der Punkt auf der x-Achse liegt! Daher sind die Nullstellen genau die x-Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse!

Gehen wir umgekehrt von einer Gleichung der Form  f (x) = 0  aus, wobei f (x) ein gegebener Term ist, so sind deren Lösungen gerade die Nullstellen der Funktion x ® f (x).

• Die "Bisektionsmethode" ist ein computerbasiertes Verfahren, das breite Anwendungsmöglichkeiten besitzt.
• Das so genannte "Newton-Verfahren" wird im Rahmen der Differentialrechnung behandelt.
• Auf Nullstellen von Polynomfunktionen höherer Ordnung werden wir in einem Exkurs des zweiten Funktionenkapitels eingehen. Dort werden wir auch Nullstellen verschiedenen Typs (verschiedener "Ordnung") begegnen.

Die Arbeit, den Graphen einer gegebenen Funktion zu zeichnen, kann heute der Computer übernehmen. Er hilft auch dabei, Nullstellen (oder Schnittpunkte zweier Graphen) mit hoher Genauigkeit zu ermitteln.. Wir werden unten über den mathe online Funktions-Plotter sprechen, der Sie mit Hilfe seiner Zoom-Funktion in die Lage versetzt, die meisten Gleichungen, mit denen Sie konfrontiert werden, näherungsweise zu lösen.

Funktionen können in manchen Intervallen positiv, in anderen Intervallen negativ sein. Die Grenzen dieser Intervalle bilden die Nullstellen.

• monoton wachsend (monoton steigend), wenn der Funktionswert mit größer werdendem x nicht kleiner wird, d.h. wenn aus  x₁ < x₂  folgt, daß  f (x₁) £ f (x₂)  ist.
• streng monoton wachsend (streng monoton steigend), wenn der Funktionswert mit größer werdendem x größer wird, d.h. wenn aus  x₁ < x₂  folgt, daß  f (x₁) < f (x₂)  ist.
• monoton fallend, wenn der Funktionswert mit größer werdendem x nicht größer wird, d.h. wenn aus  x₁ < x₂  folgt, daß  f (x₁) ³ f (x₂)  ist.
• streng monoton fallend, wenn der Funktionswert mit größer werdendem x kleiner wird, d.h. wenn aus  x₁ < x₂  folgt, daß  f (x₁) > f (x₂)  ist.

• injektiv, wenn jedes Element der Menge B höchstens einmal getroffen wird, d.h. wenn zwei verschiedene x-Werte immer auch verschiedene Funktionswerte haben (in Formeln: wenn aus x₁ ¹ x₂  folgt, daß  f (x₁) ¹ f (x₂)  ist),
  
• surjektiv, wenn jedes Element von B getroffen wird, d.h. wenn der Wertebereich (siehe oben) gleich der ganzen Menge B ist,
• bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. In diesem Fall definiert sie eine exakte Entsprechung ("Eins-zu-eins-Zuordnung") zwischen Elementen der Menge A und Elementen der Menge B. Sie heißt daher auch eineindeutig.
  Die Zuordnungsvorschrift kann dann "umgedreht" werden und definiert die sogenannte inverse Funktion (Umkehrfunktion oder einfach Inverse)  f  ^-1 : B ® A . Eine bijektive Funktion wird daher auch als invertierbar (umkehrbar) bezeichnet. Wir werden im zweiten Funktionenkapitel mehr über das Bilden der inversen Funktion erfahren.
  Zur Schreibweise: f  ^-1(x) ist nicht zu verwechseln mit f (x) ^-1 º 1/ f (x); hier ist die Notation leider nicht konsistent. Manchmal wird die zu f : x ® f(x) inverse Funktion auch in der Form x : f ® x( f ) angeschrieben. Diese Schreibweise drückt die Umkehrung der Zuordnungsvorschrift besonders deutlich aus. Dabei ist allerdings zu beachten, dass x nun eine Funktion bezeichnet und f für die unabhängige Variable steht.

Beispiele für Funktionen zweiter Ordnung haben wir in diesem Kapitel bereits kennengelernt: Die "Quadrierfunktion" x ® x² bei der Besprechung der Funktion als Input-Output-Maschine (oben) und die Funktion x ® x² - 3 bei der Besprechung des Konzepts des Funktionsgraphen (oben).

Beispiel: Die Nullstellen der oben besprochenen Funktion x ® x² - 3 sind die Lösungen der Gleichung x² - 3 = 0, d.h. x = ±Ö3 » ±1.732. Das sind gerade die x-Koordinaten der Schnittpunkte des obigen Graphen mit der x-Achse.

• Funktionen und Graphen

• Funktionen und Gleichungen

Sie werden dieses Werkzeug, ein Java-Applet, oft verwenden können. (Sie können es auch vom Kapitel Funktionen 1 der Galerie und von unserer Ressourcensammlung Mathe-Links und Online-Werkzeuge - Kategorie Online-Werkzeuge > Funktionen und graphische Darstellungen - aus aufrufen).

Weitere Programme zum Plotten von Funktionsgraphen finden Sie in den meisten mathematischen Softwarepaketen. Einige davon sind auch online über das Web zugänglich. Wir weisen insbesondere auf das im Rahmen des MathServ Project an der Vanderbilt University zur Verfügung gestellte Werkzeug

Ein weiteres Werkzeug zur Analyse von Funktionsgraphen ist der in Form eines Java-Applets an der Universität Bayreuth entwickelte grafische Taschenrechner.