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Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohldefinierter Objekte. Diese Objekte heißen Elemente der Menge. Jener Zweig der Mathematik, der die Konsequenzen dieser einfachen Idee studiert, heißt Mengenlehre. Bei den Elementen von Mengen handelt es sich in der Praxis um mathematische Objekte, z.B. um Zahlen. Betrachten wir als Beispiel die Menge, die die Zahlen 2, 3, 4, 5, 6 und 7 zusammenfaßt. Sie wird unter Verwendung geschwungener Klammern in der Form
Für das Bilden (d.h. Definieren) einer Menge hat sich eine weitere, sehr nützliche Schreibweise eingebürgert. Die Menge A kann, anstelle der Auflistung ihrer Elemente, auch wie folgt definiert werden:
|  ganze Zahlen | |||||||||||||||||||||||||||||||||
Diese Form wird uns noch oft begegnen. Ihre Bestandteile sind wie folgt zu lesen:
| Definitionen von Mengen können Sie das anhand einfacher Beispiele üben. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
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Es handelt sich also um eine Kette von Symbolen und Aussagen, die direkt in eine alltagssprachliche Formulierung übersetzt werden kann und uns schlicht und einfach sagt, welche Objekte in der Menge A zusammengefaßt werden. Der wichtigste Schlüssel bei der Übersetzung in die sprachliche Form ist der senkrechte Strich | , der einfach als ''für die gilt'' zu lesen ist. Nach diesem Symbol werden Eigenschaften angegeben, die die Elemente der Menge charakterisieren. Beachten Sie, daß es hier belanglos ist, welches Symbol nach der Mengenklammer verwendet wird. Wir können anstelle von n genausogut irgendein anderes Symbol benützen, z.B. x:
Eine solche Möglichkeit, Mengen zu beschreiben, ist besonders dann hilfreich, wenn eine Auflistung der Elemente der Menge umständlich oder überhaupt unmöglich ist. Letzteres ist der Fall für die Menge
| natürliche Zahlen | |||||||||||||||||||||||||||||||||
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Im Fall der Menge
Die Mengen N und X enthalten unendlich viele Elemente. (Solche Mengen werden oft auch kurz unendliche Mengen genannt). Eine endliche Menge ist hingegen eine Menge, die nur endlich viele Elemente enthält. Um noch ein bißchen Schreibarbeit zu sparen, können Mengen auch so angegeben werden:
Als zwei weitere Beispiele schreiben wir die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen als
In den folgenden Abschnitten werden wir die sechs Mengen A, B, C, N, U und X
benützen, um Beziehungen zwischen und Verknüpfungen von Mengen zu
illustrieren. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Wir haben nun einige Beispiele für Mengen hingeschrieben und können beobachten, daß zwischen Mengen manchmal ganz bestimmte Beziehungen bestehen. So sind z.B. alle Elemente von A auch Elemente von N. Die Menge N ist umfassender (schlampig gesagt, ''größer'') als die Menge A. Die mathematische Ausdrucksweise dafür ist: A ist Teilmenge (oder Untermenge oder) von N, und N ist Obermenge von A. Dies wird als
Die Beziehung A Í N besteht, weil jedes Element von A auch Element von N ist. In der mathematischen Formelsprache kann dies als
Ein weiteres Beispiel ist B Í A, denn die oben definierte Menge B besteht ja per Definition aus Elementen von A, die eine zusätzliche Eigenschaft erfüllen (nämlich gerade Zahlen zu sein). Die beiden Beziehungen B Í A und A Í N können in der Form B Í A Í N zusammengefaßt werden.
Wenn eine Menge Teilmenge einer anderen ist und die beiden Mengen voneinander verschieden sind,
spricht man von einer echten Teilmenge. So ist zum Beispiel
A eine echte Teilmenge von
N, da
Statt Í und Ê
werden manchmal die Symbole Ì und É
verwendet. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Zwei (oder mehrere) Mengen können gemeinsame Elemente besitzen. Die Menge all dieser gemeinsamen Elemente heißt Durchschnittsmenge (kurz Durchschnitt) und wird mit dem Symbol Ç bezeichnet. Bilden wir als Beispiel den Durchschnitt der beiden Mengen A (siehe oben) und U (siehe oben). Die formale Definition lautet
Ein Beispiel für den Durchschnitt dreier Mengen ist
Manchmal sollen alle Elemente zweier (oder mehrerer) Mengen in einer neuen, umfassenderen Menge zusammengefaßt werden. Diese Menge wird Vereinigungsmenge (kurz Vereinigung) genannt und mit dem Symbol È bezeichnet. Bilden wir als Beispiel die Vereinigung der beiden Mengen A (siehe oben) und C (siehe oben). Die formale Definition lautet
Ein Beispiel für die Vereinigung dreier Mengen ist
Nebenstehender Button ruft eine symbolische Graphik auf, um die Begriffe
Durchschnittsmenge und Vereinigungsmenge zu veranschaulichen.
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Der Rest dieses Abschnitts kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden.
Das Bilden eines Durchschnitts führt auf ''kleinere'', das Bilden einer Vereinigung
führt auf ''größere'' als die ursprünglichen Mengen. Dies hat Beziehungen wie
wie A Ç U Í A und A Í A È C zur Folge.
Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie mehr Informationen darüber
(und über die Beobachtung, daß die Mengenoperationen
Ç und È in enger Beziehungen zu den ''logischen Operationen''
und und oder stehen, die auch manchmal mit den Symbolen
Ù und Ú
bezeichnet werden) aufrufen.
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Der Begriff der Teilmenge kann übrigens ganz auf das Bilden des Durchschnitts bzw.
der Vereinigung zurückgeführt werden. Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie mehr
Informationen darüber aufrufen.
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Manchmal sollen aus einer Menge Elemente, die darin enthalten sind, wieder herausgenommen werden. Betrachten wir die Mengen A (siehe oben) und B (siehe oben). Erinnern Sie sich, daß für diese beiden Mengen die Beziehung B Í A gilt. Alle Elemente von B sind auch Elemente von A. Nehmen wir diese Elemente aus A heraus, so erhalten wir die Menge
Als weiteres Beispiel wollen wir anführen, daß N \U die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist (denn die ungeraden - die Elemente von U - wurden ja aus N entfernt).
Nebenstehender Button ruft eine symbolische Graphik auf, um den Begriff der
Komplementärmenge zu veranschaulichen.
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Folgende Bemerkung kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden.
In ähnlicher Weise, wie Ç und È in enger Beziehungen zu den
logischen Operationen und und oder stehen (siehe oben), ist das
Bilden des Komplements mit der logischen Verneinung, dem nicht,
das manchmal mit dem Symbol Ø bezeichet wird,
verbunden. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Der Vollständigkeit halber wollen wir nun eine Menge einführen, die kein einziges Element enthält, die leere Menge. Sie wird als
Sie tritt auf, wenn der Durchschnitt zweier Mengen, die kein gemeinsames Element haben, gebildet wird. So enthält etwa die Menge B (siehe oben) nur gerade Zahlen, die Menge U (siehe oben) nur ungerade Zahlen. Keine Zahl kann Element beider Mengen sein (da keine Zahl gleichzeitig gerade und ungerade ist). Daher ist
Zwei Mengen, die kein gemeinsames Element besitzen (d.h. deren Durchschnitt die leere Menge ist) heißen zueinander disjunkt.
Achtung - nicht verwechseln:
Die leere Menge { } enthält kein Element (also ''nichts'').
Sie ist von der Zahl 0, und auch von der
Menge, die die Zahl Null enthält (also {0}) zu unterscheiden. (Die Menge
{0} enthält ja ein Element, die leere Menge { } enthält gar keines).
Folgende Bemerkung kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden.
Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie die formalen ''Rechenregeln''
für den Umgang mit der leeren Menge
aufrufen. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Wir wollen hier kurz zwei Symbole besprechen, die oft im Zusammenhang mit Mengen auftreten. Manchmal soll von einer Menge gesagt werden, daß sie (zumindest) ein Element mit einer gewissen Eigenschaft enthält. So enthält z.B. die oben definierte Menge A (zumindest) eine gerade Zahl. Formal kann das so ausgedrückt werden:
Manchmal soll von einer Menge gesagt werden, daß alle ihre Elemente eine gewisse Eigenschaft erfüllen. So enthält z.B. die oben definierte Menge B nur gerade Zahlen. Formal kann das so ausgedrückt werden:
Der Rest dieses Abschnitts kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Diese beiden Symbole finden vielfältige Anwendung. So gilt z.B. für die oben definierte Menge B (zur Erinnerung: B = {2,4,6}):
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Ein anderes Beispiel für die Verwendung des Symbols $ stellt die Definition der Menge
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Diese Art von Symbolik mag anhand der hier behandelten Beispiele übertrieben erscheinen.
Im ''Ernstfall'' ist sie jedoch eine große Hilfe, komplexe Sachverhalte korrekt zu
behandeln und tieferliegende Strukturen aufzudecken.
Ohne sie wäre die moderne Mathematik
undenkbar. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Dieser Abschnitt kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Falls eine Menge endlich ist, d.h. nur endlich viele Elemente enthält, wird unter ihrer Mächtigkeit (oder Ordnung) die Anzahl ihrer Elemente verstanden. So hat z.B. die oben definierte Menge B die Ordnung 3. Zwei endliche Mengen, die gleichviele Elemente besitzen, heißen gleichmächtig. Man kann sie in gewisser Weise miteinander ''identifizieren'', indem man jedes Element der einen Menge zu einem ''Partner'' oder ''Stellvertreter'' genau eines Elements der anderen Menge erklärt. Einfach ausgedrückt, kann man dann von Standpunkt der Mengenlehre aus (d.h. mit Hilfe der Symbole Î , Ç, È, Í , Ê und \ ) mit der einen Menge genau dieselben Dinge machen wie mit der anderen. Jeweils ein Element der einen Menge ''steht für'' ein Element der anderen Menge, und umgekehrt. (Man kann das auch so sagen: Für jemanden, der nur den Begriff der Menge und die Symbole Î , Ç, È, Í , Ê und \ kennt und alles andere ignoriert, sind die beiden Mengen nicht unterscheidbar). Dieser Begriff kann für unendliche Mengen, d.h. für Mengen, die unendlich viele Elemente enthalten, verallgemeinert werden. Zwei beliebige Mengen heißen gleichmächtig, wenn jedes Element der einen Menge zu einem ''Partner'' oder ''Stellvertreter'' genau eines Elements der anderen Menge erklärt werden kann, so daß kein Element der zweiten Menge ''übrigbleibt''.
Es gibt unendliche Mengen, die nicht gleichmächtig sind.
In diesem Sinn können also auch unendliche Mengen ''verschieden viele Elemente''
enthalten, also ''verschieden groß'' sein. Das wichtigste Beispiel hierfür
bilden die Mengen der natürlichen und der reellen Zahlen: Sie besitzen beide
unendlich viele Elemente, sind aber nicht gleichmächtig. Dies wird in einem späteren
Kapitel besprochen.
| Die Mengen der natürlichen und der rellen Zahlen sind nicht gleichmächtig. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
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Das mathematische Symbol für Gleichmächtigkeit ist @ (obwohl es daneben noch mehrere andere
Bedeutungen hat). So gilt etwa - um ein Beispiel zu nennen -
für die Mengen N
(siehe oben) und U
(siehe oben), daß sie
gleichmächtig sind: N @ U.
Die Identifizierung kann so gewählt werden:
(Allgemein heißt das: die n-te natürliche Zahl - also n Î N selber - ist ''Partner'' der n-ten ungeraden Zahl - also der Zahl 2n-1 Î U ). In diesem Sinn gibt es "genausoviele" ungerade Zahlen wie natürliche! Das mag überraschen, ist im Leben unendlicher Mengen aber nichts Besonderes: Obwohl die Menge U der ungeraden natürlichen Zahlen dadurch entsteht, daß aus der Menge N die geraden Zahlen herausgenommen werden, sind U und N nach wie vor ''gleich groß''. Das ''Unendliche'' schlägt dem Alltagsverstand so manches Schnippchen. Daher hat es in der Geschichte der Mathematik lange gedauert, bis Sachverhalte, in denen das ''Unendliche'' eine Rolle spielt, in eine genaue Sprache gekleidet wurden. Wir können z.B. nicht wirklich sagen, daß die Mengen N und U ''gleich viele Elemente'' besitzen - denn die ''Anzahl'' ihrer Elemente ist unendlich, und unendlich ist keine Zahl. Daher die Anführungszeichen. Aber wir können präzise formulieren, daß die beiden Mengen gleichmächtig sind. Der mathematische Begriff der Gleichmächtigkeit ist an die Stelle der Alltagsvorstellung ''gleich viele'' getreten. Das ist ein schönes Beispiel für mathematische Begriffsbildung.
| Bedeutungen des Begriffs isomorph (in Vorbereitung) | |||||||||||||||||||||||||||||||||
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Zum Abschluß dieses Abschnitts noch ein Begriff, der die "Größe" unendlicher Mengen betrifft:
Mengen, deren Elemente mit Hilfe der natürlichen Zahlen ''durchnumeriert''
werden können, sind gleichmächtig zu N. Sie werden abzählbar genannt.
Nicht jede unendliche Menge ist abzählbar. Es gibt also unendliche Mengen,
die ''so viele'' Elemente besitzen, daß sie sich nicht ''durchnumerieren'' lassen.
Ein Beispiel dafür ist die Menge der reellen Zahlen: sie ist
überabzählbar. Dieser Sachverhalt wird in einem
späteren Kapitel
besprochen. | Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit | |||||||||||||||||||||||||||||||||
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Dieser Abschnitt kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Die Potenzmenge einer Menge ist einfach die Menge aller Teilmengen dieser Menge. So ist die Potenzmenge der oben definierten Menge B = {2,4,6} durch
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Viele Gebiete der modernen Mathematik benützen Strukturen innerhalb der Potenzmenge
gegebener Mengen, z.B. die Topologie, für die die Menge aller ''offenen Teilmengen''
und die Menge aller ''offenen Intervalle''
der Menge der reellen Zahlen, sowie die ''offenen Mengen''
in der Ebene und im Raum oder in anderen Mengen wichtig sind.
Diese Begriffe werden in späteren Kapiteln besprochen.
Wie im vorigen Abschnitt erwähnt, können unendliche Mengen
''verschieden groß'' sein (nämlich, wenn sie nicht gleichmächtig sind).
Nun kann man zeigen, daß eine Menge und ihre Potenzmenge nie gleichmächtig
sind. (Für einen Beweis siehe den nebenstehenden Button.
Was ''gleichmächtig'' bedeutet, wurde oben gesagt).
Der Begriff der Potenzmenge erlaubt es daher, immer ''größer'' werdende Stufen
von ''Unendlichkeiten'' anzugeben:
Man betrachte zunächst die Menge N der natürlichen Zahlen, dann deren Potenzmenge
(die ebenfalls unendlich viele Elemente enthält, aber ''noch größer'' als N ist - sie
ist überabzählbar),
dann die Potenzmenge der Potenzmenge von N usw. Jede dieser Mengen ist
nicht gleichmächtig zur
vorigen. | Topologie (in Vorbereitung) offene Intervalle | |||||||||||||||||||||||||||||||||
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Dieser Abschnitt kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Außer Ç und È gibt es noch weitere Möglichkeiten, aus zwei beliebigen Mengen eine dritte zu konstruieren. Eine solche wollen wir hier kurz besprechen. Betrachten wir die Mengen A (siehe oben) und B (siehe oben). Ein geordnetes Paar von Elementen dieser beiden Mengen besteht in der Angabe eines Elements a Î A und eines Elements b Î B. Dies wird als
| Zahlenpaare | |||||||||||||||||||||||||||||||||
angeschrieben. Die Menge all dieser Paare heißt das kartesische Produkt
der beiden Mengen und wird mit dem Symbol × bezeichnet:
Diese Konstruktion ist wichtig, um geometrische Sachverhalte zu beschreiben: Die Ebene kann als das kartesische Produkt zweier Geraden (''Zahlengeraden'') aufgefaßt werden.
In analoger Weise wird die Menge aller Tripel (a, b, c) von Elementen
a Î A, b Î B und c Î C als A × B × C bezeichnet.
Höhere Verallgemeinerungen wie A × B × C × N × X
sind ebenfalls
möglich. | Ebene als Produkt zweier Geraden | |||||||||||||||||||||||||||||||||
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Dieser Abschnitt kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Der Begriff der Menge als ''Zusammenfassung wohldefinierter Objekte'' ist einleuchtend und scheint zunächst eine ganz unproblematische Sache zu sein. Es mag daher überraschend sein, daß hier fundamentale Probleme auftreten, wenn die Möglichkeiten des Mengenbegriffs ausgelotet werden.
Wenn eine Menge eine ''Zusammenfassung wohldefinierter Objekte'' ist, so ist sie
selbst ein wohldefiniertes Objekt. Können wir also all diese Objekte zusammenfassen
und die Menge aller Mengen bilden? Die Antwort lautet verblüffenderweise nein!
Die Menge aller Mengen ist ein in sich widersprüchliches und daher sinnloses Konzept.
Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie eine Begründung, warum das
so ist, und eine bekanntes Paradoxon über einen Dorfbarbier aufrufen.
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Die Herangehensweise an Mengen, die wir in diesem Kapitel vorgeführt haben, wird heute
''naive Mengenlehre'' genannt und geht auf die
zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts (vor allem auf Georg Cantor) zurück.
Wie wir gerade gesehen haben, führt die uneingeschränkte Erzeugung von Mengen nach diesem Standpunkt auf Widersprüche (sogenannte Antinomien). Entdeckungen dieser Art haben seit dem Beginn des 20. Jahrhunderts (beginnend mit Ernst Zermelo) zu einem Überdenken der Grundlagen der Mathematik geführt. In der ''axiomatischen Mengenlehre'' wird versucht, Regeln für den Umgang mit Mengen auf formale Weise aus möglichst wenigen Grundannahmen (Axiomen) herzuleiten, sodaß Objekte wie die ''Menge aller Mengen'' gar nicht erst auftreten. Das zugrundegelegte System von Axiomen ist allerdings nicht eindeutig, sodaß man eigentlich von vielen möglichen ''Mathematiken'' sprechen müßte. Die weiteren Konsequenzen dieser Situation (vor allem die Entdeckung Kurt Gödels, daß jede dieser ''Mathematiken'' in einem fundamentalen Sinn unvollständig ist) haben die alte Vorstellung von der Universalität der Mathematik nachhaltig verunsichert. | ein bißchen mehr darüber (in Vorbereitung) | |||||||||||||||||||||||||||||||||
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Ein praktischer Standpunkt - den wir auch hier vertreten - ist der, trotz allem die Anschauungen der naiven Mengenlehre zuzulassen, problematische Konstruktionen wie die ''Menge aller Mengen'' (oder auch Mengen, die sich selbst als Element enthalten) aber zu vermeiden. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
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