Den beiden Geraden geben wir nun Namen: Die erste nennen wir x-Achse, die zweite y-Achse (wobei die Symbole x und y häufig verwendet werden, aber auch durch andere ersetzt werden können. Die erste Achse wird Abszisse, die zweite Ordinate genannt). Wir sprechen von Koordinatenachsen oder kurz Achsen.

Zuletzt geben wir ihnen - gemäß folgender Skizze - je eine "Richtung", die durch einen Pfeil angedeutet ist:

Die beiden Achsen schneiden einander in einem Punkt, den wir Ursprung nennen.

Diese Konstruktion versetzt uns in die Lage, die Position von Punkten in Form von Zahlen angeben zu können. Nehmen wir an, P sei ein Punkt auf der Zeichenebene. Dann zeichnen wir die Abstände zu den beiden Achsen wie in der folgenden Skizze ein (wobei wir den Achsen Markierungen im Abstand 1 geben, um Längen leichter ablesen zu können):

Genau genommen funktioniert dieses Methode der Positionsbestimmung nur, wenn der Punkt rechts von der y-Achse und oberhalb der x-Achse liegt. Im allgemeinen Fall müssen wir auch negative Koordinatenwerte zulassen:

Liegt ein Punkt links von der y-Achse, so ist seine x-Koordinate das Negative des Abstands von der y-Achse. Liegt ein Punkt unterhalb der x-Achse, so ist seine y-Koordinate das Negative des Abstands von der x-Achse.

Wir können uns die y-Koordinate als "Seehöhe" vorstellen, wenn die x-Achse das Niveau des Meeresspiegels darstellt. So gesehen ist es ganz natürlich, daß manche Punkte eine negative y-Koordinate haben. Und genauso legitim sind negative x-Koordinaten für Punkte links von der y-Achse.

Hier vier Beispiele:

Spezialfälle:

Beide Koordinaten des Ursprungs sind Null. Für einen Punkt auf der x-Achse ist die y-Koordinate Null. (Gemäß dem oben gemachten Vergleich könnte man sagen, seine "Seehöhe" ist Null, also liegt er "auf Meeresniveau"). Für einen Punkt auf der y-Achse ist die x-Koordinate Null.

Beachten Sie die vertauschten Rollen von x und y in den letzen beiden Aussagen!

Bisher haben wir Koordinaten (bis auf ihr Vorzeichen) als Abstände von den Achsen betrachtet. Es gibt aber noch eine andere nützliche Art, sich Koordinaten vorzustellen.
 

Hier ein Beispiel:

Die Orientierung der Achsen bringt eine besondere Sprechweise mit sich: Jene "Hälfte" der x-Achse, die vom Ursprung aus in die positive Richtung (d.h.in Richtung des Pfeils) verläuft, wird (etwas schlampig) positive x-Achse genannt, und entsprechend spricht man von der negativen x-Achse, der positiven y-Achse und der negativen y-Achse.
 

Quadrant Nummer   x-Koordinate   y-Koordinate  1 positiv positiv 2 negativ positiv 3 negativ negativ 4 positiv negativ

Die beiden Achsen, zusammen mit ihren Orientierungen (den Pfeilen) bilden ein (kartesisches oder rechtwinkeliges) Koordinatensystem. Sein Sinn ist es also, uns eine Vorschrift in die Hand zu geben, wie die Position eines Punktes durch zwei Zahlen (den Koordinaten) ausgedrückt werden kann. Dadurch werden viele geometrische Probleme einer rechnerischen Behandlung zugänglich gemacht.

Achtung: Die Bezeichungen x und y werden zwar häufig verwendet (man spricht dann von einem xy-Koordinatensystem), sind aber nicht obligatorisch. Man könnte an ihrer Stelle irgendwelche anderen Symbole verwenden. Heißen die Koordinaten beispielsweise r und s, so sprechen wir von einer r-Achse und einer s-Achse (die erste wieder Abszisse, die zweite Ordinate genannt) bzw. von einem rs-Koordinatensystem, und davon abgesehen wäre alles genauso wie hier beschrieben.

Um einen Geschmack davon zu bekommen, wie die Angabe von Koordinaten mit mathematischen Fragestellungen zusammenhängt, nehmen wir an, wir legen zwei Strecken durch die Koordinaten ihrer Endpunkte fest. Nehmen wir weiters an, daß diese beiden Strecken "einander schneiden", d.h. einen gemeinsamen Punkt besitzen. Er wird Schnittpunkt genannt, und es läßt sich nun fragen, wo er liegt.

Beispiel: Gegeben seien die vier Punkte P(3, 2), Q(2, -1), A(2, 1) und B(5, -2).
Frage: Wo liegt der Schnittpunkt der beiden Strecken PQ und AB ?

Die Angabe reicht aus, um auf einem Blatt Papier eine Skizze der Situation zu machen. Der Schnittpunkt der beiden Strecken ist zeichnerisch leicht ermittelt. Um aber exakt anzugeben, wo er liegt, ist es am einfachsten, seine Koordinaten zu ermitteln.
Um die Koordinaten ungefähr zu ermitteln, reicht es, sie in der Skizze abzulesen. Tun Sie es! Sie werden - wenn Sie einigermaßen genau gezeichnet haben - das Resultat x = 2.5 und y = 0.5 finden. Ist dies ein exaktes oder nur ein ungefähres Ergebnis? Diese Frage kann durch pures Ablesen nicht beantwortet werden - sie bedarf einer mathematischen Argumentation ! Betrachten Sie folgende Skizze und die in ihr enthaltenen zusätzlichen Hilfslinien, um sie zu beantworten!

Die Idee der Koordinaten ist nicht nur nützlich, um die Position von Punkten in Zahlen zu fassen. Sie erlaubt uns, einen genaueren Begriff der Zeichenebene zu entwickeln. Wir haben die Zeicheneben oben als "Idealbild" eines Blatt Papiers bezeichnet, eben und unendlich ausgebreitet, ohne Dicke, ohne Farbe und Geruch usw. Das ist natürlich keine besonders mathematische Charakterisierung - sie ist eher philosophischer Natur.

Die Koordinaten erlauben uns nun einen Blick aufs Wesentliche: Die Zeichenebene ist die Menge aller in ihr liegenden Punkte. Ist nun ein (kartesisches) Koordinatensystem festgelegt, so kann jeder Punkt durch ein Zahlenpaar (das aus seinen Koordinaten besteht) dargestellt werden. Und außer der Tatsache, daß er irgendwo in der Zahlenebene liegt, hat ein (mathematischer) Punkt eigentlich keine weiteren Eigenschaften! Ein Zahlenpaar (x, y) stellt daher genau die mathematisch relevante Information über einen Punkt P dar. Symbolisch können wir das als

Wir könnten noch zugespitzter sagen: Ein Punkt der Zeichenebene ist ein Paar reeller Zahlen. Damit sind all die Eigenschaften, die "kleine Objekte" der realen Welt besitzen können, abgestreift. Wenn wir uns auf die Sprachregelung einigen, daß ein Punkt einfach ein Zahlenpaar ist, brauchen wir keine zusätzlichen philosophischen Anstrengungen zu unternehmen wie "hat keinerlei Ausdehnung" und auch "sonst keine weitere Eigenschaft". Diese Reduktion auf das vom mathematischen Standpunkt Wesentliche ist eine gedankliche Abstraktion, aber nun ist es eine, mit der wir auf formale und präzise Weise umgehen können.

Von diesem Standpunkt aus betrachtet, stellt sich die Zeichenebene - die Menge aller in ihr liegenden Punkte - als Menge aller reellen Zahlenpaare heraus. Die Menge der reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare von reellen Zahlen als R² (ausgesprochen als "R zwei"). Wir sind dieser Menge bereits in einem früheren Kapitel begegnet. In der mathematischen Formelsprache ist sie durch

Fassen wir zusammen:
 

Die Zeichenebene "als solche" ist nicht mit einem Koordinatensystem ausgestattet. Wir haben ein solches konstruiert, indem wir uns (in Gedanken) zwei aufeinander normal stehende Achsen ausgedacht haben und ihnen Richtungen (Pfeile) gegeben haben (siehe oben). Dementsprechend haben wir der Ebene einen "Mittelpunkt" gegeben: den Ursprung, der jetzt - als Element von R² - einfach das Zahlenpaar (0, 0) ist. Die Zeichenebene "als solche" hat natürlich weder einen derartigen Mittelpunkt, noch irgendeine ausgezeichnete Richtung. Es ist gar nicht leicht, die ursprüngliche Idee einer glatten Fläche (ohne jegliche ausgezeichnete Struktur wie Koordinatenachsen) als mathematisches Objekt zu definieren. Wir werden in einem späteren Kapitel ein bißchen dazu sagen.

Für praktisch alle Zwecke der Schulmathematik spielt dies jedoch glücklicherweise keine Rolle. Wir können uns vorstellen, ein Koordinatensystem sei fix gewählt, und in Bezug auf dieses wird die Zeichenebene mit dem R² identifiziert.

Wir haben oben die Zeichenebene mit einem kartesischen Koordinatensystem ausgestattet. Jeder Punkt ist durch ein Paar (x, y) von reellen Zahlen charakterisiert. Obwohl dieses Koordinatensystem seine Aufgabe, die Position von Punkten in Zahlen auzudrücken, erfüllt, ist es manchmal von Vorteil, auch andere Koordinatensysteme zu verwenden.

Lediglich am Ursprung passiert ein kleines Malheur: Für ihn gilt r = 0, aber der Winkel f ist völlig unbestimmt. Alle anderen Punkte besitzen eindeutig bestimmte Werte von r und f, und umgekehrt legt jedes Paar (r, f), für das r > 0 und 0° £ f < 360° gilt, genau einen Punkt fest.

Neben den hier besprochenen gibt es noch viele andere Koordinatensysteme. Der Sinn jedes Koordinatensystems ist es, die Position von Punkten durch Zahlen auszudrücken.

Koordinatensysteme können ganz verschiedene Eigenschaften besitzen. So beruhen die kartesischen Koordinaten auf der Wahl zweier Achsen, wohingegen im Zusammenhang mit Polarkoordinaten weder von einer r-Achse noch von einer f-Achse die Rede war. Auch die Rolle des Ursprungs ist in beiden Systemen verschieden.

Dennoch haben alle Kordinatensysteme etwas gemeinsam. Sie "überziehen" die Zeichenebene mit einem Muster aus Linien, den Koordinatenlinien. Eine Koordinatenlinie ist eine Linie (Kurve), entlang welcher sich der Wert einer der beiden Koordinaten nicht ändert. Wir wollen das aus diesen Linien gebildete Muster "Koordinaten-Raster" nennen. Es erinnert an die in einer Landkarte eingezeichneten Kurven, mit deren Hilfe die Längen- und Breitengrade eines Ortes abgelesen werden können. Ist in einer Skizze ein genügend feiner Raster dieser Linien eingezeichnet, so lassen sich die Koordinaten von Punkten bequem abzulesen.

Nebenstehend finden Sie drei der Applets, auf die wir bereits oben verwiesen haben. Sie zeigen Ihnen die Koordinatenlinien dreier Koordinatensysteme auf Knopfdruck.

Im Fall kartesischer (siehe oben) und schiefwinkeliger (siehe oben) Koordinaten sind alle Koordinatenlinien gerade. Der Koordinaten-Raster besteht aus zwei Scharen von zueinander parallelen Geraden. Diese Koordinaten werden daher geradlinig genannt. Sie besitzen Achsen (die jeweils selbst Koordinatenlinien sind, und zwar jene, entlang derer eine der beiden Koordinaten Null ist).