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Eine Gleichung in einer Variablen (Unbekannten) x ist eine ''Behauptung'' der Form
Eine Lösung der Gleichung (1) ist ein Element x Î G, für welches die ''Behauptung'' LinkeSeite = RechteSeite eine wahre Aussage ist. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge und wird üblicherweise mit L bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein.
Achtung: Die Variable (Unbekannte) wird zwar oft x genannt, kann aber auch mit anderen Buchstaben bezeichnet werden.
Beispiel: x + 2 = 5 über G = R =
Menge der reellen Zahlen.
Beispiel: n + 1 = n über G = N =
Menge der natürlichen Zahlen. | Falls Sie mit dem Thema Schwierigkeiten haben, hilft Ihnen vielleicht der kleine "Gleichungen - ein erster Überblick" weiter. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Beispiel: r2 = 4
über G = R. Bedeutung: Diese ''Behauptung'' ist nur dann eine wahre Aussage, wenn r eine reelle Zahl ist, deren Quadrat 4 ist. Das ist für die Zahl 2 der Fall, aber auch für die Zahl -2. Die Gleichung hat zwei Lösungen, r = -2 und r = 2. (Das kann abgekürzt als r = ±2 geschrieben werden). Die Lösungsmenge ist L = {-2, 2}.
Beispiel: 2 ( x + 1 ) = 2 x + 2
über G = R.
|  Identitäten | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Manche Gleichungen lassen sich leicht lösen. Die wichtigste Lösungstechnik besteht darin, Gleichungen so verändern, daß die ''Behauptung'', die sie darstellen, bestehen bleibt. Solche Veränderungen heißen Äquivalenzumformungen.
Eine Äquivalenzumformung besteht darin, die linke und die rechte Seite einer Gleichung auf gleiche Weise abzuändern. Diese Änderung muß allerdings umkehrbar sein: es muß möglich sein, die ursprüngliche Gleichung durch eine weitere Umformung zurückzugewinnen. Dann enthalten die ursprüngliche und die veränderte Gleichung dieselbe Information (sie sind zueinander ''äquivalent'') und haben dieselbe Lösungsmenge.
In der Praxis werden Äquivalenzumformungen benützt, um Gleichungen Schritt für Schritt
zu vereinfachen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.
Bei linearen Gleichungen gelingt es immer, nach wenigen Schritten
zu einer Gleichung zu gelangen, die die Lösung unmittelbar angibt.
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| Die wichtigsten Äquivalenzumformungen sind: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Zur Dokumentation des Lösungswegs ist es üblich, die Veränderungen, die an einer Gleichung im nächsten Schritt vorgenommen werden, rechts davon, nach einem senkrechten Strich, zu notieren.
Beispiel:
Warnung: Das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung ist keine Äquivalenzumformung! Beispiel: x = 2 ist eine sehr einfache Gleichung mit Lösungsmenge L = {2}. Werden beide Seiten quadriert, ergibt sich die Gleichung x2 = 4. (Diese haben wir oben in der Form r2 = 4 bereits als Beispiel angeführt). Sie hat die Lösungsmenge L = {-2, 2}. Also: die Gleichungen x = 2 und x2 = 4 haben nicht dieselbe Lösungmenge!
Warnung: Beide Seiten einer Gleichung mit Null zu multiplizieren
ist keine Äquivalenzumformung, denn dies macht aus jeder Gleichung
die Aussage 0 = 0, woraus die ursprüngliche Gleichung nicht wieder
zurückgewonnen werden kann. Aus ihr kann auch keinerlei Rückschluß auf die
Lösung(en) der ursprünglichen Gleichung gezogen
werden. | Im Applet Äquivalenz- umformungen können Sie Ihren Blick für äquivalente Gleichungen schärfen. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Eine lineare Gleichung (in der Variablen x) ist eine Gleichung der Form
Drei Beispiele für lineare Gleichungen: Manchmal vereinfachen sich Gleichungen, die zunächst recht kompliziert aussehen, durch Äquivalenzumformungen zu linearen Gleichungen. Ein Beispiel: Gegebene Gleichung: ( x + 1 )2 = x2 + 5 Lösungsweg: Zuerst Auflösen der Klammer auf der linken Seite. x2 + 2 x + 1 = x2 + 5 | - x2 2 x + 1 = 5 | - 1 2 x = 4 | : 2 x = 2 womit sie gelöst ist. Da die x2-Terme weggefallen sind, ist die Gleichung (obwohl sie zu Beginn gar nicht danach aussah) linear.
Wie man anhand der Gleichung x = x + 1 sieht, kann es vorkommen, daß die Lösungsmenge einer linearen Gleichung leer ist.
Wie man anhand der Gleichung 2 x + 1 = 2 x + 1 (die ja für
jede Zahl eine wahre Aussage darstellt), sieht, kann es vorkommen,
daß die Lösungsmenge gleich der ganzen Grundmenge ist.
Eine lineare Gleichung kann also auch unendlich viele Lösungen
haben! Jede lineare Gleichung kann - durch Äquivalenzumformungen - auf die Form
Aus diesem Resultat können wir übrigens schließen, daß die Lösung einer linearen Gleichung der Form (3), für die a und b ganze Zahlen sind (und a ¹ 0), eine Bruchzahl (rationale Zahl) ist. Beispiel: 6 x + 4 = 0 hat die Lösung x = - 4/6 = - 2/3 (Kürzen!) Als Spezialfall kann sich eine ganze Zahl als Lösung ergeben. Beispiel: 2 x - 6 = 0 hat die Lösung x = 6/2 = 3 (Kürzen!) | rationale Zahlen | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Eine quadratische Gleichung (auch Gleichung zweiter Ordnung genannt) ist eine Gleichung von der Form
Die einfachsten quadratischen Gleichungen sind:
(Aufgabe: Bringen Sie sie in ihre jeweilige Normalform! Antworten: x2 - 1 = 0, das entspricht p = 0 und q = -1, x2 = 0, das entspricht p = 0 und q = 0, x2 + 1 = 0, das entspricht p = 0 und q = 1.) Für die Lösungen einer quadratischen Gleichung, die in der Normalform (5) vorliegt, gibt es eine handliche Formel, die sogenannte (kleine) Lösungsformel. Sie lautet
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Sie ist so wichtig, daß Sie wissen sollten, wo sie herkommt
(der Beweis benützt die Methode des
Ergänzens auf ein vollständiges Quadrat,
siehe nebenstehenden Button). Außerdem sollten
Sie versuchen, sie sich auswendig zu merken.
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Sie hat folgende Bedeutung: Je nachdem, ob p2/4 - q
(also die Zahl unter dem Wurzelzeichen) negativ, 0 oder positiv
ist, gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.
| Quadratische Gleichungen 1 können Sie den Beweis der Lösungsformel noch einmal als Puzzle durchspielen. Im Applet Quadratische Gleichungen 2 werden drei Lösungsmethoden einander gegenübergestellt. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|  geometrischer Grund | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Beachten Sie beim Rechnen, daß die Wurzel aus einer reellen
(nicht-negativen) Zahl per Definition
immer ³ 0 ist.
(So hat etwa Ö4 nur einen Wert, nämlich 2,
während ± Ö4 für
± 2 steht, d.h. für die zwei Werte - 2 und 2).
Beispiel:
| Wurzel immer ³ 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Beispiel: Gegebene Gleichung: x2 - 2 = 0 (das entspricht p = 0 und q = - 2) Sie kann als x2 = 2 geschrieben werden, woraus sich die Lösungen ±Ö2 ergeben. Die Lösungsformel ist hier also gar nicht notwendig. Wird sie dennoch benützt, so ergibt sich
Dieses Beispiel illustriert eine Tatsache, die auch aus der Lösungsformel (6) ersichtlich ist: Für ganzzahlige Koeffizienten p, q enthalten die Lösungen Wurzeln aus rationalen Zahlen (d.h. aus Brüchen, die in Spezialfällen ganze Zahlen sein können). Sie sind daher im Allgemeinen irrational. Nur in Einzelfällen (die allerdings häufig als Beispiele ausgewählt werden) sind die auftretenden Wurzeln selbst wieder rational (oder sogar ganzzahlig). | rationale und irrationale Zahlen | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Unkonventionelle Fragestellung: Geben Sie eine quadratische Gleichung an, die die Lösungen 1 und 2 hat! Antwort: Versuchen Sie's mit der Gleichung
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Um diesen einfachen Lösungsweg zu verschleiern, multiplizieren wir die Klammer aus und
finden
| Identitäten | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Hinter diesem Vorgang verbergen sich tiefere Zusammenhänge, die erst nach und nach beim
Fortschreiten des Stoffs klarer werden.
Um einen kleinen Vorgeschmack davon zu bekommen, wiederholen wir das Argument, legen uns aber jetzt auf die Werte der Lösungen nicht fest, sondern bezeichnen sie lediglich mit x1 und x2. Die quadratische Gleichung, die x1 und x2 als Lösungen hat, lautet
Diese Aussage heißt Satz von Vieta (auch Vietascher Wurzelsatz genannt). Sie wird üblicherweise in der Form
| quadratische Funktionen | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Man kann den Vietaschen Satz übrigens auch durch direkte Rechnung beweisen, indem die Lösungsformeln für x1 und x2 verwendet werden. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Beispiel:
Die Gleichung x2 - 5 x + 6 = 0 , die
oben bereits betrachtet und gelöst wurde,
hat die Lösungen 2 und 3. Deren Summe ist 5 (also gerade das Negative von p = -5)
und ihr Produkt ist 6 (also gerade q).
Eine der hinter dem Vietaschen Satz liegenden Einsichten ist die Tatsache, daß jeder Term der Form x2 + p x + q, sofern er für zumindest eine reelle Zahl x Null ist, als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden kann. (Ein linearer - genauer: linear-inhomogener - Term ist ein Ausdruck der Form a x + b. Er heißt auch Polynom erster Ordnung. Ein Term der Form x2 + p x + q oder, ein bißchen allgemeiner, a x2 + b x + c, heißt quadratischer Term oder Polynom zweiter Ordnung). | Polynome | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Aufgabe: Schreiben Sie den Term x2 - 5 x + 6 als ein Produkt von Linearfaktoren! Antwort: Die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung sind, wie schon oben berechnet, 2 und 3. Daher gilt die Identität Die Beschäftigung mit Gleichungen hat uns also zu einer Methode geführt, wie manche quadratische Ausdrücke in elementarere Bestandteile ''zerlegt'' werden können. Die beiden Linearfaktoren sind so etwas Ähnliches wie die Primfaktoren einer natürlichen Zahl: Die Zahl 35 läßt sich als 5×7 schreiben, wobei 5 und 7 auch als ''Bestandteile'' gedeutet werden können. | Primfaktoren | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Eine quadratische Gleichung kann auch in der Form (4), also
Je nachdem, ob die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl
Die Kombination b2 - 4 a c entscheidet also über die Zahl der Lösungen.
Sie übernimmt die Rolle, die bei der kleinen Lösungsformel
die Kombination p2/4 - q gespielt hat und wird, wie diese,
Diskriminante genannt. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Neben den linearen und den quadratischen Gleichungen gibt es zahlreiche weitere Typen, etwa:
Kubische Gleichungen (Gleichungen dritter Ordnung), wie:
| Funktionen dritter Ordnung | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| algebraische Gleichungen (in Vorbereitung) Exponential- und logarithmische Gleichungen | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Es kann passieren, daß eine Gleichung nicht für alle Elemente der Grundmenge G einen
Sinn ergibt. Falls etwa im Beispiel der Bruchgleichung
(24) die Grundmenge als R angenommen
wird, so tritt für x = - 6 und x = 0 ein Problem auf: In beiden Fällen wird
durch 0 dividiert, was eine Operation darstellt, die gar nicht definiert ist!
Für diese beiden Werte von x kann also gar nicht
gefragt werden, ob die durch die Gleichung dargestellte ''Behauptung'' wahr oder falsch ist,
denn diese Behauptung ist schlicht sinnlos, stellt keine
mathematisch wohldefinierte Fragestellung dar.
In solchen Fällen hat sich eingebürgert, die problematischen Werte aus der Grundmenge G
herauszunehmen und die
so entstehende (kleinere) Menge als Definitionsmenge D zu bezeichnen.
Nur Elemente dieser Menge kommen als Lösungen in Frage.
(Die Idee der Definitionsmenge besteht also darin,
jene Werte für x, die eigentlich gar nicht in der Grundmenge
enthalten sein sollten, zu verwerfen. Manchmal ist es aber recht schwierig, sie zu ermitteln. Daher
wird mit gutem Grund zwischen den beiden Mengen G und D unterschieden).
Der Name der Definitionsmenge rührt daher, daß sie jene Elemente der Grundmenge
enthält, für die beide Seiten der Gleichung wohldefiniert sind.
| Division durch Null nicht definiert | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Im Fall der Bruchgleichung (24) mit G = R ist
D = R \ {- 6, 0}, oder, anders angeschrieben,
D = {x Î R | x ¹ - 6 und x ¹ 0},
denn für
Ein ähnliches Problem stellt sich bei der Wurzelgleichung (25).
Die beiden Terme unter der Wurzel müssen ³ 0 sein, damit die Gleichung überhaupt einen
Sinn macht. Mit G = R ist die Definitionsmenge
D = {x Î R | x + 1 ³ 0 und
x2 - 5 ³ 0}. | das Symbol \ (Komplementärmenge) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Wie löst man solche Gleichungen? Gehen wir kurz die drei Beispiele
(23) - (25) durch:
Kubische Gleichungen wie (23) werden später behandelt. Wir werden im ersten Funktionenkapitel eine einfache graphische Methode entwickeln, die auf Näherungslösungen führt. Im zweiten Funktionenkapitel werden wir in einem Exkurs Möglichkeiten kennen lernen, in gewissen Fällen exakte Lösungen zu finden. Generell werden wir "algebraische Gleichungen" (s.o.) in einem eigenen Kapitel behandeln. Im Fall der Bruchgleichung (24) kommt man mit Äquivalenzumformungen (siehe oben) weiter: Beide Seiten dürfen mit Es ergibt sich die Gleichung x (x + 3 ) = ( x + 6 ) ( x - 1), welche nach Ausmultiplizieren der Klammern x2 + 3 x = x 2 + 5 x - 6 lautet. Diese Gleichung kann durch weitere Äquivalenzumformungen gelöst werden: x2 + 3 x = x 2 + 5 x - 6 | - x2 3 x = 5 x - 6 | - 5 x - 2 x = - 6 | : (- 2) x = 3 Da 3 Î D, ist dies die (einzige) Lösung, L = {3}. Im Fall der Wurzelgleichung (25) weiß man keinen anderen Weg, als die Gleichung in einer Weise zu ändern, die keine Äquivalenzumformung ist. Dies kann zu ''scheinbaren'' Lösungen führen, die in Wahrheit keine sind. Wenn wir beide Seiten von (25) quadrieren (was keine Äquivalenzumformung darstellt, siehe obige Warnung), so vereinfacht sie sich zu x + 1 = x2 - 5. Dies ist eine quadratische Gleichung. Sie kann zu x2 - x - 6 = 0 umgeformt werden, woraus sich, nach Anwenden der Lösungsformel, die Lösungen x1,2 = 1/2 ± 5/2, also x1 = - 2 und x2 = 3 ergeben. Aber: Diese zwei Zahlen sind nicht unbedingt Lösungen der gegebenen Gleichung, denn wir haben ja eine ''unerlaubte'' Operation ausgeführt und dabei möglicherweise Information verloren! Ein kurzer Check zeigt, daß die Zahl -2 gar nicht in der Definitionsmenge liegt, denn weder x + 1 ³ 0 noch x2 - 5 ³ 0 gelten für x = -2. Setzt man x = -2 in die gegebene Gleichung (25) ein, so ergibt sich eine sinnlose Aussage, in der Wurzeln aus negativen Zahlen vorkommen. Die Zahl 3 hingegen ist in D enthalten (für x = 3 gilt sowohl x + 1 ³ 0 als auch x2 - 5 ³ 0). In die gegebene Gleichung (25) eingesetzt, ergibt sich die Aussage Ö4 = Ö4, was einfach 2 = 2 bedeutet. Die Zahl 3 ist also die einzige Lösung des Problems, L = {3}, ungeachtet dessen, daß im Laufe der Rechnung zwei ''Lösungen'' aufgetreten sind. Daraus können wir lernen: Sobald Operationen angewandt werden, die zwar beide Seiten einer Gleichung auf gleiche Weise behandeln, and nicht umkehrbar (und folglich keine Äquivalenzumformungen) sind, sind alle ab diesem Punkt auftretenden ''Lösungen'' nur als Kandidaten zu behandeln. Im Zweifelsfall ist die sicherste Methode immer, alle Kandidaten in die Gleichung einzusetzen und zu überprüfen, ob die entstehenden Aussagen einen Sinn machen und, wenn ja, ob sie wahr oder falsch sind. | graphisch lösen Nullstellen von Polynomen algebraische Gleichungen (in Vorbereitung) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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... heute in der Praxis beim Lösen von Gleichungen. Dennoch ist ein Verständnis
der zugrundeliegenden mathematischen Tatsachen und Probleme unabdingbar, wenn
unbeabsichtigte Fehler in den Anweisungen an ein Programm vermieden werden sollen.
Insbesondere können Programme nicht immer gut mit Gleichungen umgehen, deren
Definitionsmenge von der Grundmenge abweicht. Wir werden auf die Verwendung dieser
Hilfen und auf geeignete Methoden (insbesondere das so genannte Newton-Verfahren zur
nährungsweisen Lösung von Gleichungen) später näher eingehen.
Wer bereits an dieser Stelle ein Programm, das Gleichungen lösen kann, kennenlernen will, sei auf das im Rahmen des MathServ Project an der Vanderbilt University zur Verfügung gestellte Web-Angebot verwiesen. Der Button | Numerische Verfahren 1 (in Vorbereitung) Newton-Verfahren | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Das an der Universität Bayreuth entwickelte Java-Applet Nullstellen von Polynomen bis 4. Grades ist ein rein numerisch arbeitendes Werkzeug. Es berechnet nicht die exakten Lösungen, sondern lediglich (sehr genaue) Näherungswerte. (Achtung: die eingegebene Gleichung muß zumindest von zweiter Ordnung sein).
Aufgabe: Berechnen Sie die Lösungen der Gleichung
In unserer Ressourcensammlung
Mathe-Links und Online-Werkzeuge
finden Sie unter der Kategorie Online-Werkzeuge > Gleichungen
zahlreiche weitere im Web angebotene Tools, die beim Lösen
(verschiedener Typen)
von Gleichungen behilflich sind bzw. es ganz übernehmen. In der Mathematik treten oft Probleme auf, in denen mehrere Gleichungen und mehrere Variable (Unbekannte) eine Rolle spielen. Der Fall einer Gleichung, in der mehrere Variable auftreten, ist besonders wichtig für die Beschreibung geometrischer Sachverhalte (z.B. Kurven in der Ebene). Im Fall mehrerer Gleichungen spricht man von Gleichungssystemen. Beide Themen werden in späteren Kapiteln behandelt. | Kurven (in Vorbereitung) Gleichungs- systeme (in Vorbereitung) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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