Lexikon: K

Jeder mit einem Begriff verbundene (fettgedruckte) Hyperlink führt in ein Kapitel der Mathematischen Hintergründe. Grün geschriebene Begriffe haben noch keine Eintragung.

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Kartesische Koordinaten

auch rechtwinkelige Koordinaten genannt, sind das gebräuchlichste Hilfsmittel, um die Position von Punkten in der Zeichenebene und im dreidimensionalen Raum durch Zahlen auszudrücken. Ein kartesisches Koordinatensystem setzt die Wahl von aufeinander normal stehenden Koordinaten-Achsen voraus.

In der Ebene sind die Koordinaten als Abstände von den (zwei) Achsen definiert. Werden die Achsen mit x und y bezeichnet, so ist die x-Koordinate eines Punktes sein Abstand von der y-Achse und umgekehrt. Hat ein Punkt P die x-Koordinate 3 und die y-Koordinaten 2 (kurz: x = 3 und y = 2), so wird dafür P (3, 2) oder P (3 / 2) geschrieben. Seine Position ist durch das Zahlenpaar (3, 2) eindeutig festgelegt: Er kann (stellen Sie sich ein Blatt Papier vor) vom Ursprung aus erreicht werden, indem zuerst entlang der x-Achse um 3 Einheiten nach rechts (d.h. in die positive x-Richtung), und dann parallel zur y-Achse um 2 Einheiten nach oben (d.h. in die positive y-Richtung) "gegangen" wird. Ist die x-Koordinate eines Punktes negativ, so muß nach links (in die negative x-Richtung), ist seine y-Koordinate negativ, so muß nach unten (in die negative y-Richtung) gegangen werden.
Die Reihenfolge kann umgedreht werden (zuerst in y-, dann in x-Richtung), wodurch ein Rechteck entsteht, das auf zwei Seiten durch die Achsen, auf zwei Seiten durch die Koordinatenlinien durch P begrenzt wird.
Im Raum werden drei Achsen verwendet (und oft mit den Buchstaben x, y und z bezeichnet). Hat ein Punkt Q die Koordinaten x = 4, y = 5 und z = 6, was auch als Q (4, 5, 6) oder Q (4 / 5 / 6) geschrieben wird, so kann er vom Ursprung aus erreicht werden, indem nacheinander um 4, 5 und 6 Einheiten in die positive x-, y- und z-Richtung vorgerückt wird. Ist eine Koordinate eines Punktes negativ, so muß in die entsprechende negative Richtung gegangen werden.
Ein anschauliches Bild aus dem Alltag: Die Koordinaten eines Punktes in einem Zimmer sind seine Abstände von zwei (nicht-gegenüberliegenden) Wänden und vom Fußboden. Ist der Fußboden die xy-Ebene, so hat ein Punkt unter dem Fußboden eine negative z-Koordinate.

Hinter diesen Konstruktionen steckt die Tatsache, daß Ebene (mathematisch R²) und dreidimensionaler Raum (mathematisch R³) als das kartesische Produkt von zwei bzw. drei Kopien der Zahlengeraden R definiert werden können (siehe auch Zahlenpaare, Zahlentripel und n-Tupel). Jede der zwei oder drei Koordinaten eines Punktes gehört zu einer dieser Kopien. Insofern sind die kartesischen Koordinaten besonders "natürliche". (Dabei ist allerdings zu bedenken, daß es viele zueinander verdrehte kartesische Koordinatensysteme gibt, man sich aber üblicherweise auf eines als bevorzugtes einigt).
Die obigen Konstruktionen können ohne Weiteres auch auf höherdimensionale Räume übertragen werden.
Achtung: Die Symbole x, y usw. können, müssen aber nicht verwendet werden.
Neben kartesischen werden auch andere Koordinatensysteme verwendet.

Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b) mit a Î A und b Î B. In Formeln:

A × B = { (a, b) | a Î A, b Î B }.

Analog ist A × B × C die Menge aller Tripel aus Elementen der drei Mengen A, B und C.
Das kartesische Produkt wird z.B. dazu benützt, um die Ebene (Zeichenebene) als kartesisches Produkt zweier Geraden (Zahlengeraden) zu konstruieren. Mathematisch gesehen ist die Ebene die Menge aller reellen Zahlenpaare, und es gilt R² = R × R.
Analog gilt für den dreidimensionalen Raum R³ = R × R × R, und auch höherdimensionale Räume (allgemein spricht man vom Rⁿ) können so definiert werden.

Kehrwert

auch reziproker Wert oder die zu einer Zahl inverse Zahl (die Inverse einer Zahl) genannt. Der Kehrwert einer Zahl x ist jene Zahl, deren Produkt mit x gleich 1 ist. Ein solcher Wert existiert nur, wenn x ¹ 0 ist. Er ist dann ¹/_x , d.h. der Quotient aus 1 und x und wird oft auch als x^-1 (siehe Potenz) geschrieben.
Der Kehrwert von Elementen, die von 0 verschieden sind, kann innerhalb der Mengen der reellen, rationalen, und komplexen Zahlen gebildet werden, jedoch nicht innerhalb der ganzen Zahlen (mit Ausnahme der Zahlen -1 und 1) und der natürlichen Zahlen (mit Ausnahme der Zahl 1).

Kepler-Gleichung

ist ein Beispiel für eine implizite Funktionsgleichung, die auf eine Funktion ohne geschlossene Termdarstellung führt. Sie lautet: ay - sin y = x. Für jedes a ³ 1 definiert sie eine Funktion y_a(x). Auf diese Familie von Funktionen stieß Johannes Kepler um das Jahr 1619, als er an seinem dritten Gesetz über den Umlauf der Planeten um die Sonne arbeitete.

Kettenlinie

wird der Graph der Funktion cosh genannt, da er die Form eines im Schwerefeld hängenden dünnen Seils hat.

Kettenregel

Die Ableitung der Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen kann mit Hilfe der Formel

( f(g(x)) ) ^' = f '(g(x)) g'(x)

berechnet werden. Zwei andere Schreibweisen für dieselbe Regel sind

und

(f o g) ' = (f ' o g) g' .

Klammern auflösen

Siehe Distributivgesetz.

Kleine Lösungsformel

Eine quadratische Gleichung, die in der Form x² + p x + q = 0 gegeben ist, hat die Lösungs-Kandidaten

x_1,2 = - p/2 ±

________
Ö p²/4 - q

Im Rahmen der reellen Zahlen existieren diese Ausdrücke nicht immer: Je nachdem, ob die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl p²/4 - q negativ, 0 oder positiv ist, hat die Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen.
Im Rahmen der komplexen Zahlen existieren beide Größen immer: Ist p²/4 - q ¹ 0, so existieren zwei verschiedene Lösungen, ansonsten nur eine einzige.
Siehe auch Vietascher Satz.

Kleiner, kleiner-gleich

Siehe Ordnung der reellen Zahlen.

Kleine Winkel

Siehe Winkelfunktionen für kleine Winkel.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Zwei oder mehrerere natürliche Zahlen besitzen viele gemeinsame Vielfache (z.B. ihr Produkt). Um das kleinste dieser Vielfachen zu ermitteln, wird die Primfaktorzerlegung benützt.
Beispiel: Das kgV der Zahlen 36 und 120.
Primzahlzerlegung der beiden Zahlen: 36 = 2² ×3², 120 = 2³ × 3 × 5.
Das kgV ist 2³ × 3² × 5 = 360 (es muß immer die größere Hochzahl genommen werden. Dabei sind die Primfaktoren 3 und 5 als 3¹ und 5¹ und das Fehlen des Primfaktors 5 in 36 als 5⁰ zu interpretieren).
Das kgV spielt beim Bruchrechnen eine Rolle.

Koeffizient

heißt Vorfaktor. Damit wird im Allgemeinen eine Zahl verstanden, die innerhalb eines Terms eine Variable oder einen Teil-Ausdruck multipliziert. So spricht man von Koeffizienten eines Polynoms. Aber auch bei Ausdrücken wie

2 ( u² + 1 ) - 3 ( u² - 1 ) oder 4 + ⁸/_x - 5 ( y⁴ - z⁴ )

werden die auftretenden Zahlen (im ersten Beispiel: 2, -3; im zweiten Beispiel: 4, 8, -5) gelegentlich als Koeffizienten bezeichnet.

Kollinear

heißt dasselbe wie parallel.

Kommutativgesetz der Addition

ist die Aussage, daß es beim Addieren von Zahlen nicht auf die Reihenfolge ankommt: x + y = y + x für alle x, y.

Kommutativgesetz der Multiplikation

ist die Aussage, daß es beim Multiplizieren von Zahlen nicht auf die Reihenfolge ankommt: x y = y x für alle x, y.

Komplementärmenge

Ist A eine Menge und B eine Teilmenge von A (d.h. B Í A), so erhält man die Komplementärmenge (kurz: das Komplement) von A in bezug auf B, indem alle Elemente von B aus A entfernt werden:

A \ B = { x Î A | x ist nicht Element von B } = { x Î A | x Ï B }.

Andere Schreibsweisen für diese Menge sind A ~ B und, etwas schlampig, aber umso einprägsamer, A - B.
Diese Konstruktion wird oft dazu benützt, um aus einer Menge einige wenige Elemente zu entfernen. Beispiel: R \ {0} ist die Menge aller von Null verschiedenen reellen Zahlen (sie wird R_* genannt).

Komponenten eines Vektors

sind die Eintragungen, aus denen ein Vektor besteht. Ein Vektor mit n Komponenten wird n-komponentig (oder n-dimensional) genannt. Auf diesen Zahlen beruht die Darstellung von Vektoren als Pfeile, deren Länge und Richtung sie bestimmen. Dank der Identifizierung von Vektor-Komponenten mit Punkt-Koordinaten kann ein Vektor dazu benutzt werden, den Ort eines Punktes (im zugehörigen n-dimensionalen Raum) anzugeben. Ein Vektor in dieser Eigenschaft heißt Ortsvektor.

Konkav

wird eine reelle Funktion f genannt, wenn jede Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten des Graphen von f an keiner Stelle "oberhalb" dieses Graphen liegt. Der Graph ist dann "nach unten offen". Beispiel: die Funktion x ® -x². Ist eine Funktion f konkav, so ist -f konvex.

Konstante Funktion

auch Funktion nullter Ordnung genannt, ist eine Funktion, die jedem Wert der unabhängigen Variablen ein- und denselben Funktionswert zuordnet: x ® c, wobei c fix vorgegeben ist.

Konvex

wird eine reelle Funktion f genannt, wenn jede Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten des Graphen von f an keiner Stelle "unterhalb" dieses Graphen liegt. Der Graph ist dann "nach oben offen". Beispiel: die Funktion x ® x². Ist eine Funktion f konvex, so ist -f konkav.

Konvexitätsverhalten

fasst die beiden Begriffe konvex und konkav zusammen.

Koordinaten

Siehe Koordinatensystem.

Koordinaten-Achsen

kurz Achsen, sind die Grundlage geradliniger Koordinatensysteme.

In der Zeichenebene ist ein "Achsenkreuz" durch zwei Geraden definiert, die einander in genau einem Punkt (dem Ursprung) schneiden. Jede der beiden Achsen bekommt eine Orientierung (eine "Richtung"), die zeichnerisch durch einen Pfeil angedeutet wird. Stehen die beiden Achsen aufeinander normal, so handelt es sich um ein kartesisches, ansonsten um ein schiefwinkeliges Koordinatensystem.
Im kartesischen Fall - der der weitaus häufigste ist - wird üblicherweise die erste Achse "horizontal" gewählt, ihre Orientierung nach "rechts", die zweite Achse wird "vertikal" gewählt, ihre Orientierung nach "oben". (Denken Sie bei diesen Begriffen an ein Blatt Papier!)
Die erste Achse wird auch Abszisse, die zweite Ordinate genannt. Bildlich gesprochen, statten die beiden Achsen die Ebene mit einem "Mittelpunkt" (dem Ursprung) und einem Kompaß aus.
Im dreidimensionalen Raum müssen drei Geraden gewählt werden, die einander in genau einem Punkt (dem Ursprung) schneiden. Stehen sie paarweise aufeinander normal, so handelt es sich um ein kartesisches, ansonsten um ein schiefwinkeliges Koordinatensystem.
Diese Konstruktionen übertragen sich in analoger Weise auch auf höherdimensionale Räume.

Als Bezeichnungen für die Achsen werden oft die Buchstaben x und y (im räumlichen Fall zusammen mit z) verwendet (obwohl auch andere möglich sind). Man spricht dann
von der x-Achse,
von der positiven x-Richtung, d.h. der Richtung, in die der Pfeil der x-Achse weist,
und - etwas schlampig - von der positiven x-Achse, d.h. jeder Hälfte der x-Achse, die im Ursprung beginnt und in die positive x-Richtung verläuft.
Die jeweiligen Gegenstücke werden als negative x-Richtung und negative x-Achse bezeichnet, und dasselbe gilt für alle Achsen eines Koordinatensystems.
Diese Begriffe dienen dazu, sich in der Ebene oder im Raum zurechtzufinden und die Position von Punkten in Zahlen (Koordinaten) auszudrücken. (Das wird unter den Stichworten kartesische und schiefwinkelige Koordinaten genauer besprochen).

Koordinatenbasis

ist ein anderer Name für Standardbasis.

Koordinaten, geradlinige

Siehe geradlinige Koordinaten.

Koordinaten, kartesische

Siehe kartesische Koordinaten.

Koordinaten, krummlinige

Siehe krummlinige Koordinaten.

Koordinatenlinien

sind jene Kurven in einem Koordinatensystem, entlang derer sich nur eine Koordinate ändert, alle anderen aber einen fixen Wert haben.
So sind die Koordinatenlinien in einem kartesischen Koordinatensystem der Zeichenebene horizontale und vertikale Geraden.
Interessanter sind die die Koordinatenlinien der ebenen Polarkoordinaten: es sind dies Kreise mit dem Ursprung als Mittelpunkt (auf ihnen ist r konstant) und Strahlen ( = Halbgerade), die vom Ursprung ausgehen (auf ihnen ist f konstant). In jenem Bereich der Ebene, in dem das Polarkoordinatensystem wohldefiniert ist (überall außer im Ursprung) liegt jeder Punkt auf genau zwei Koordinatenlinien: einer, auf der r einen fixen Wert hat und einer, auf der f einen fixen Wert hat. Diese beiden Werte sind genau die Polarkoordinaten des betreffenden Punktes.
Koordinatenlinien dienen also dazu, Koordinaten abzulesen. Sie bilden ein Raster, das für das verwendete Koordinatensystem charakteristisch ist und ihm sein "Flair" gibt.
Siehe auch krummlinige Koordinaten.

Koordinaten, rechtwinkelige

Siehe kartesische Koordinaten.

Koordinaten, schiefwinkelige

Siehe schiefwinkelige Koordinaten.

Koordinaten-Raster

ist das Muster aus Koordinatenlinien in der Zeichenebene in Bezug auf ein Koordinatensystem. Für geradlinige Koordinaten ist es ein Raster aus zwei Scharen von Geraden, die jeweils zu einer der beiden Achsen parallel sind.
Im Fall krummliniger Koordinaten sieht das Raster wie ein deformiertes Netz aus. So setzt es sich z.B. für Polarkoordinaten aus allen Strahlen ( = Halbgeraden), die vom Ursprung ausgehen, und allen Kreisen, die den Ursprung als Mittelpunkt haben, zusammen.
In jedem Fall hilft ein genügend eng gezeichnetes Raster, die Koordinaten von Punkten abzulesen. Ein im Alltag auftretendes Beispiel ist das Raster in Landkarten, das es erleichtert, die geographischen Koordinaten (Längen- und Breitengrad) eines Ortes zu ermitteln.

Koordinatensystem

Wird von Koordinaten oder von einem Koordinatensystem ohne weitere Angabe gesprochen, so sind damit meistens kartesische Koordinaten gemeint. Ganz allgemein aber ist ein Koordinatensystem ein Hilfsmittel, um die Position - den Ort, die Lage - von Punkten (z.B. in der Zeichenebene oder im dreidimensionalen Raum) in Zahlen (genauer: in Zahlenpaaren, Zahlentripeln usw.) auszudrücken.
Geradlinige Koordinaten benützen Koordinaten-Achsen, um diese Orientierung zu bewerkstelligen. Stehen die Achsen aufeinander normal, so handelt es sich um kartesische (rechtwinkelige) Koordinaten, ansonsten werden sie schiefwinkelig genannt.
Darüberhinaus werden manchmal krummlinige Koordinaten verwendet. Sie beruhen auf anderen Konstruktionen, um Positionen von Punkten in Zahlen darzustellen. Ein Beispiel dafür sind ebene Polarkoordinaten, die aus dem Abstand vom Ursprung und einem Winkel bestehen.
Siehe auch Koordinatenlinien, Koordinaten-Raster und Koordinatentransformation.

Koordinatentransformation

Werden gleichzeitig zwei Koordinatensysteme in der Ebene oder im Raum verwendet, so hat jeder Punkt Koordinaten in Bezug auf das eine und Koordinaten in Bezug auf das andere System. Die Umrechnung der Koordinaten bezüglich des einen Systems in jene bezüglich des anderen Systeme heißt Koordinatentransformation.
Beispiele:
Umrechnung von ebenen kartesischen Koordinaten in ebene Polarkoordinaten (oder umgekehrt) und
Umrechnung zwischen Koordinaten bezüglich zweier zueinander verdrehter (ebener oder räumlicher) kartesischer Koordinatensysteme.

Koplanar

Eine endliche Menge von dreikomponentigen (räumlichen) Vektoren heißt koplanar, wenn alle ihre Elemente, als Ortsvektoren aufgefasst, in einer Ebene liegen. Das ist genau dann der Fall, wenn die Menge linear abhängig ist.

Körper

nennt man, etwas schlampig gesagt, eine Menge, in der zwei Operationen (Addition und Multiplikation) definiert sind, die denselben Rechenregeln wie wir es gewohnt sind, genügen (siehe auch Distributivgesetz), und in der Subtraktion und Division (außer durch 0) nicht aus der Menge herausführen.
Die in der Schulmathematik auftretenden Körper sind die Mengen der reellen, rationalen und komplexen Zahlen sowie die Menge der Restklassen modulo einer Primzahl.

Kreisfrequenz

Siehe harmonische Schwingung.

Kreuzprodukt

ist ein anderer Name für das Vektorprodukt.

Krummlinige Koordinaten

dienen, wie alle Koordinaten, dazu, die Position von Punkten (meistens in der Zeichenebene oder im dreidimensionalen Raum) durch Zahlen auszudrücken.
Das bekannteste Beispiel sind ebene Polarkoordinaten. Sie überziehen die Ebene mit einem Raster aus Koordinatenlinien, das sich vom bekannten Raster kartesischer Koordinaten stark unterscheidet.
Jedes krummlinige Koordinatensystem hat sein charakteristisches Raster, und entsprechend verschieden kann die Ebene aussehen, wenn sie durch die "Brille" verschiedener Koordinatensysteme betrachtet wird.
Krummlinige Koordinaten können auch im dreidimensionalen Raum (und in höherdimensionalen Räumen) verwendet werden. Für sie macht der Begriff der Koordinaten-Achsen keinen Sinn. (So gibt es im Polarkoordinatensystem weder eine r-Achse, noch eine f-Achse).
Neben krummlinigen werden auch geradlinige Koordinaten verwendet.
Siehe auch Koordinatensystem.

Kubikwurzel

oder dritte Wurzel: siehe höhere Wurzeln.

Kubische Funktion

bedeutet dasselbe wie Funktion dritter Ordnung.

Kurvendiskussion

oder Funktionsuntersuchung ist die Analyse einer reellen Funktion hinsichtlich wichtiger charakteristischer Eigenschaften, zum Teil unter Benutung von Methoden der Differentialrechnung. Dabei geht es vor allem um das Vorhandensein und die Lage von Nullstellen, Singularitäten, Definitionslücken, Unendlichkeitsstellen, Pole, Asymptoten, lokalen Extrema, Sattelstellen, Wendestellen und Wendetangente, manchmal auch um Eigenschaften wie Monotonie, Konvexitätsverhalten, Links- oder Rechtskrümmung. All diese Eigenschaften einer Funktion lassen sich als Eigenschaften ihres Graphen ausdrücken - daher der Name Kurvendiskussion.

Kubische Gleichung

oder Gleichung dritter Ordnung ist eine Gleichung der Form

a x³ + b x² + c x + d = 0

wobei die Koeffizienten a (¹ 0), b, c und d fix vorgegeben sind. Eine kubische Gleichung hat (über den reellen Zahlen) mindestens eine, aber höchstens drei Lösungen. Es gibt zwar eine allgemeine Lösungsformel (sie wurde von Gerolamo Cardano im 16. Jahrhundert gefunden), aber sie ist zu kompliziert und unhandlich, um uns von praktischem Nutzen zu sein. Springt keine Lösung ins Auge, so empfiehlt es sich, eine solche Gleichung numerisch zu lösen, um zumindest näherungsweise Lösungen zur Hand zu haben. Ist eine Lösung bekannt (z.B. erraten worden), so gibt es ein Verfahren, die beiden anderen Lösungen (sofern welche existieren) zu finden; siehe dazu Polynome, ihre Nullstellen und Graphen.

Kürzen eines Bruchs

Siehe Bruchrechnen.

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