V
Jeder mit einem Begriff verbundene (fettgedruckte) Hyperlink führt in ein Kapitel der Mathematischen Hintergründe.
Grün geschriebene
Begriffe haben noch keine Eintragung.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
V
Variable
Der Begriff der
Variablen
hat mehrere Schattierungen, deren einfachste sich so formulieren lässt: Eine Variable ist ein abstraktes Symbol (üblicherweise ein Buchstabe), an Stelle dessen konkrete Zahlen (oder sonstige mathematische Objekte) eingesetzt werden können. Daher wird sie auch
Platzhalter
genannt. Der Name kommt daher, daß man sich nicht auf eine konkrete Zahl festgelegt hat, also die eingesetzte Zahl "variabel" hält.
Variable sind jene Größen, aus denen
Terme
aufgebaut sind. Sie treten in
Gleichungen
als "Unbekannte" und in
Funktionen
in der Gestalt von "unabhängigen Variablen" auf.
Variablensubstitution
oder
Variablentransformation
in Integralen: Siehe
Substitutionsmethode
.
Vektor
genauer
reeller Vektor
, ist eine Liste
reeller
Zahlen, den
Komponenten
, angeschrieben in Zeilen- oder Spaltenform, beispielsweise
a
= (3,
-
2,
4)
. Wir kennzeichnen Vektoren durch Fettdruck. Ein Vektor
a
kann geometrisch durch
Pfeile
dargestellt (repräsentiert) werden. Man unterscheidet verschiedene Deutungen:
Als
Verbindungsvektor
wird er durch einen Pfeil dargestellt, der zwei gegebene Punkte verbindet.
Als
Verschiebungsvektor
definiert er eine Verschiebung (Translation) aller Punkte des Raumes entlang des Pfeiles, der ihn darstellt.
Als
Ortsvektor
bestimmt er den Ort eines Punktes, indem (Vektor-)Komponenten mit (Punkt-)
Koordinaten
identifiziert werden. Ist
P
ein Punkt, so schreiben wir seinen Ortsvektor als
P
. Er kann als Verbindungsvektor vom Ursprung nach
P
interpretiert werden.
Zwei- und dreikomponentige (zwei- und dreidimensionale) Vektoren heißen auch
ebene
und
räumliche
Vektoren. Für manche Zwecke werden Vektoren mit mehr als drei Komponenten betrachtet. Vektoren werden manchmal "
gerichtete Größen
" genannt, im Gegensatz zu
Skalaren
(Zahlen) als "
ungerichteten Größen
".
Ein besonderer Vektor ist der
Nullvektor
0
, dessen Komponenten alle gleich
0
sind.
Die breite Anwendbarkeit der Vektorrechnung verdankt sich dem Zusammenspiel
geometrischer
Sachverhalte mit einer Reihe einfach zu handhabender
Rechen
operationen:
Die
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
(d.h. das Bilden des Vielfachen) wird komponentenweise berechnet. Geometrisch entspricht das dem "Aufblasen" ("Schrumpfen") des ihn darstellenden Pfeiles.
Die
Addition zweier Vektoren
wird komponentenweise berechnet. Geometrisch entspricht die Summe zweier Vektoren einem Pfeil, der durch das Hintereinanderhängen (Schaft an Spitze) der entsprechenden Pfeile der Summanden zustande kommt. (Siehe auch
Parallelogrammregel
).
Die
Differenz zweier Vektoren
wird komponentenweise berechnet. Ihre geometrische Bedeutung wird durch die
Spitze-minus-Schaft-Regel
ausgedrückt.
Der
Betrag eines Vektors
ist die Länge des ihn repräsentierenden Pfeiles. (Siehe auch
Einheitsvektor
und
Normierung
).
Das
Skalarprodukt
macht aus zwei Vektoren einen Skalar und erlaubt es, Winkelbeziehungen zwischen Vektoren zu analysieren.
Das
Vektorprodukt
macht aus zwei räumlichen Vektoren einen dritten und hängt mit dem Volumen sowie mit den Begriffen "links" und "rechts" zusammen.
Die Rechenoperationen der Multiplikation mit einem Skalar und der Vektoraddition erlauben die Bildung beliebiger
Linearkombinationen
. Mit Hilfe dieses Begriffs wird definiert, wann eine Menge von Vektoren
linear abhängig
ist und was das Wort
Dimension
eigentlich bedeutet.
Vektoraddition
Siehe
Vektor
.
Vektorprodukt
Sind
a
und
b
zwei dreikomponentige (räumliche)
Vektoren
, so ist
a
Ù
b
(ausgesprochen "
a
keil
b
") jener Vektor, der auf
a
und
b
normal
steht, dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt des von
a
und
b
aufgespannten
Parallelogramms
ist und der die
Rechtsschraubenregel
(
Rechte-Hand-Regel
) erfüllt: Drehen wir
a
auf kürzestem Weg in
b
und denken uns diese beiden Vektoren mit einer Schraube verbunden, so zeigt
a
Ù
b
in die Bewegungsrichtung der Schraube.
Das
Vektorprodukt
kann mit Hilfe der Formel
a
Ù
b
=
æ
a
2
b
3
-
a
3
b
2
ö
ç
a
3
b
1
-
a
1
b
3
÷
è
a
1
b
2
-
a
2
b
1
ø
aus den
Komponenten
der beiden Vektoren berechnet werden. Oft wird auch die Bezeichnung
Kreuzprodukt
(und die Schreibweise
a
×
b
) verwendet.
Für Anwendungen siehe
Spatprodukt
und
Händigkeit
.
Verbindungsvektor
Ein
Vektor
, geometrisch dargestellt als
Pfeil
, kann als Verbindungspfeil oder
Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten
gedeutet werden. Der Verbindungsvektor von
P
nach
Q
ist durch die
Differenz
der
Ortsvektoren
Q
-
P
gegeben. Der
Abstand
zweier Punkte ist der
Betrag
ihres Verbindungsvektors.
Verdoppelungszeit
Siehe
exponentielles Wachstum
.
Vereinigungsmenge
Sind
A
und
B
zwei
Mengen
, so ist die
Vereinigungsmenge
(kurz: die
Vereinigung
)
A
È
B
die Menge aller Elemente, die entweder in
A
oder in
B
liegen:
A
È
B
= {
x
|
x
Î
A
oder
x
Î
B
}.
Sie ist die Zusammenfassung aller Elemente von
A
und
B
.
Verkettung von Funktionen
(früher auch
Verknüpfung
genannt) ist das Hintereinander-Ausführen: Sind
f
und
g
zwei
Funktionen
, und ist der
Wertebereich
von
g
eine Teilmenge des
Definitionsbereichs
von
f
, so wird durch
(
f
o
g
)
(
x
) =
f
(
g
(
x
))
eine neue Funktion
f
o
g
definiert. Die "Verkettungsoperation"
o
ist
assoziativ
, denn es gilt immer
f
o
(
g
o
h
) =
(
f
o
g
)
o
h
, aber im Unterschied zur
Multiplikation
von Zahlen
nicht
kommutativ
, denn
f
o
g
ist nicht dasselbe wie
g
o
f
.
Verknüpfung von Funktionen
ist eine ältere Bezeichnung für die
Verkettung von Funktionen
.
Verschiebungen und Streckungen von Funktionsgraphen
können direkt durch Verschiebungen und Streckungen von
Argument
und
Funktion
swert erzielt werden:
.
Verschiebungsvektor
Ein
Vektor
, geometrisch dargestellt als
Pfeil
, kann als
Verschiebung
(
Translation
) gedeutet werden, die jeden Punkt in einen anderen überführt, indem sie ihn entlang des Pfeils "verschiebt". Die Vektoraddition bedeutet in dieser Interpretation das Hintereinander-Ausführen von Verschiebungen.
Vielfaches
Im Rahmen der
natürlichen Zahlen
sind die Vielfachen von
m
(neben
m
selbst) die Zahlen
2m
,
3n
,
4m
usw., d.h. alle Zahlen der Form
k m
, wobei
k
Î
N
. Die Zahlen
m
und
k
sind dann
Teiler
des Produkts
k m
.
Analog kann das Konzept auch auf die
ganzen Zahlen
ausgedehnt werden, wobei
0 m
(also 0) und
-m
für manche Zwecke als triviale Vielfache angesehen werden müssen.
Vietascher Satz
Zwischen den Lösungen
x
1,2
einer
quadratischen Gleichung
(siehe
kleine Lösungsformel
) und den in der Normalform (
p
-
q
-Form)
x
2
+
p
x
+
q
= 0 auftretenden Zahlen
p
und
q
besteht die Beziehung.
x
1
+
x
2
=
-
p
x
1
x
2
=
q
.
Der tiefere Grund dafür ist die
Identität
x
2
+
p
x
+
q
= (
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
)
. Dies kann dazu benützt werden, quadratische Terme als Produkte von Linearfaktoren zu schreiben. (Über den
reellen Zahlen
ist das nur möglich, wenn der quadratische Term für zumindest ein
x
Null ist. Über den
komplexen Zahlen
ist es immer möglich. Beispiele:
x
2
- 1 = (
x
+ 1)(
x
- 1)
über
R
oder
C
,
x
2
+ 1 = (
x
+
i
)(
x
-
i
)
über
C
).
Vorzeichenfunktion
ist ein anderer Name für die
Signumfunktion
.
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