Beispiel: F(x) = x³ ist eine Stammfunktion von f(x) = 3x², denn (x³) ^' = 3x².
Beachten Sie: G(x) = x³ + 1 ist ebenfalls eine Stammfunktion von f(x) = 3x², denn (x³ + 1) ^' = 3x².

Beispiel: Um eine Stammfunktion von x + 3sin x zu finden, suchen Sie in der Tabelle (oder in Ihrem Gedächtnis) Funktionen, deren Ableitungen mit den einzelnen Summanden (möglicherweise bis auf Vielfache) übereinstimmen. So erinnern Sie sich etwa,

• dass die Ableitung von x² gleich 2x ist, die Ableitung von x²/2 daher gleich x.
• Weiters ist die Ableitung von cos x gleich -sin x, die Ableitung von -3cos x daher gleich 3sin x.
• Setzen wir diese Erkenntnisse zusammen, so ergibt sich: Die Ableitung von x²/2 - 3cos x ist gleich x + 3sin x, d.h. gleich der gegebenen Funktion.

Die Antwort lautet daher:

ò  (x + 3sin x) dx   =   x2/2 - 3cos x + c .

(6)

• Potenzen: ò1dx = x, òxdx = x²/2 und òx²dx = x³/3.
• Winkelfunktionen: òsinxdx = -cosx und òcosxdx = sinx.

Probieren wir das gleich anhand eines Beispiels aus: Das unbestimmte Integral der Funktion f(x) = 3x² haben wir bereits oben in (4) hingeschrieben: Um irgend eine Stammfunktion zu erhalten, können wir die Konstante c ignorieren und wählen F(x) = x³. Die Fläche unter dem Graphen von f (der, wie wir ja wissen, eine Parabel darstellt) zwischen den Stellen 0 und 1 ist daher

1   ½ 1   ò  3x2 dx   =   x3      =   13 - 03  =  1. 0   0

Wer hätte gedacht, dass es so einfach ist, die Fläche unter einer Parabel zu berechnen?

1. Wir haben bisher, ohne es genau auszusprechen, nur an Funktionen gedacht, die positive Funktionswerte besitzen, d.h. deren Graphen oberhalb der x-Achse liegen. Wir lassen nun diese Einschränkung fallen und legen fest, dass das bestimmte Integral (7) den orientierten Flächeninhalt darstellt (siehe dazu auch den nebenstehenden Button), d.h. dass Flächenstücke unterhalb der x-Achse (oberhalb des Graphen von f ) mit negativem Vorzeichen beitragen! Wird ein bestimmtes Integral mit Hilfe des Hauptsatzes (12) berechnet, so wird diese Regel automatisch berücksichtigt.

   
   Beispiel: Der Graph der Funktion f(x) = -3x² ist eine Parabel unterhalb der x-Achse, und dementsprechend ist das Integral
   

   1   ½ 1   ò  (-3x2) dx   =   -x3      =   -(13 - 03)  =  -1 0   0

   
   negativ.

   Ist das Integral einer Funktion über ein gegebenes Intervall gleich 0, so sind in diesem Intervall die Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse gleich groß, so daß ihre Inhalte einander wegheben.

2. Das bestimmte Integral als "orientierter Flächeninhalt" hat eine weitere Konsequenz: Man möchte zunächst meinen, dass (7) nur dann einen Sinn macht, wenn die untere Integrationsgrenze kleiner ist als die obere, d.h. wenn a < b gilt. Es hat sich jedoch als zweckmäßig herausgestellt, diese Einschränkung fallen zu lassen, d.h. bestimmte Integrale mit beliebigen Grenzen zu erlauben, und die Rechenregel
   

   a   b   ò  f(x) dx  =    - ò  f(x) dx   b   a

   (13)

   
   aufzustellen: Das Vertauschen der Grenzen ändert das Vorzeichen. Wird ein bestimmtes Integral mit Hilfe des Hauptsatzes (12) berechnet, so wird auch diese Regel automatisch berücksichtigt. In diesem Fall tragen die Flächenstücke oberhalb der x-Achse mit negativem Vorzeichen, jene unterhalb der x-Achse mit positivem Vorzeichen bei.
    
3. Das bestimmte Integral kann auch als kontinuierliche Verallgemeinerung des Mittelwerts und der Summe interpretiert werden. Näheres dazu ruft der nebenstehende Button auf.

4. Bei der Herleitung des Hauptsatzes (12) haben wir vorausgesetzt, dass f stetig ist. Das bedeutet aber nicht, dass nur stetige Funktionen integriert werden können. Soll das bestimmte Integral einer stückweise stetigen Funktion mit Hilfe von (12) berechnet werden, so muss jedes Intervall, in dem sie stetig ist, für sich betrachtet werden. Danach wird die Summe dieser Einzelintegrale addiert. (In der nebenstehende Skizze wären die Integrale von a bis b und von b bis c getrennt zu berechnen und danach zu addieren).
    
5. Wie wir weiter unten im Abschnitt über "uneigentliche Integrale" besprechen werden, können die Integrationsgrenzen unter gewissen Voraussetzungen durch -¥ oder ¥ ersetzt werden, und an einer (endlichen) Integrationsgrenze darf f eine (genügend milde) Unendlichkeitsstelle besitzen. Damit können die Inhalte von Flächen berechnet werden, die "bis ins Unendliche" reichen.

6. Zur Bedeutung der in (3) und (7) verwendeten Symbole ò und dx: Diese Schreibweise stammt von Gottfried Wilhelm von Leibniz. Er hat sich die Fläche unter einem Funktionsgraphen als aus unendlich vielen, unendlich dünnen nebeneinander stehenden Rechtecken zusammengesetzt gedacht, jedes ähnlich dem schmalen Streifen, den wir in (8) betrachtet haben. Wird in (8) e = dx gesetzt und als unendlich kleine ("infinitesimale") Größe, als "Differential", aufgefasst, so stellt sich der Flächeninhalt als "Summe" von unendlich vielen unendlich kleinen Rechtecksflächen f(x)dx dar. Das Integralzeichen, als langgestrecktes "S", steht für diese "Summe". Sie erstreckt sich in gewisser Weise "über alle x", beginnend bei a und endend bei b, was oberhalb und unterhalb des Integralzeichens vermerkt wird. In dieser Interpretation ist die Größe f(x)dx, wie die Schreibweise nahelegt, tatsächlich ein Produkt. Die "infinitesimale" Sichtweise ist heute überholt (die Schreibweise nur mehr symbolisch zu verstehen), die ihr zugrunde liegende Vorstellung kann durch einen wohldefinierten Grenzübergang ersetzt werden, aber sie ist nach wie vor hilfreich und regt die Anschauung an. Auf die Möglichkeiten, den Integralbegriff exakter zu fassen, werden wir weiter unten noch zu sprechen kommen.

Beispiel 1: Man berechne die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = x² - 1 zwischen den Stellen 1 und 2.
Eine Stammfunktion der gegebenen Funktion ist, wie sich leicht herausfinden lässt, F(x) = x³/3 - x. Nachdem wir das nun wissen (das Auffinden einer Stammfunktion ist in der Regel der schwierigste Teil einer Integrationsaufgabe), besteht die Lösung der Aufgabe aus zwei Schritten:

• Um sicherzugehen, dass keine Weghebungen von Flächenstücken oberhalb und unterhalb der x-Achse passieren können, müssen wir uns erst vergewissern, dass die Funktion f im angegebenen Intervall [1, 2] nicht negativ werden kann. Das geschieht durch die Berechnung der Nullstellen oder, wenn man sich eine kleine Nachlässigkeit gönnt, durch die Betrachtung des Graphen, z.B. mit dem Funktions-Plotter (am besten aber durch beides). Prüfen Sie das für unser Beispiel selbständig nach!
   
• Der Rest der Rechnung läuft im Grunde genommen ganz mechanisch ab:
  

  2   ½ 2   ò  (x2 - 1) dx   =   (x3/3 - x)      =   1   1

  =   (23/3 - 2) - (13/2 - 1)   =   4/3 .

Der gesuchte Flächeninhalt ist 4/3.

Beispiel 2: Man berechne die Fläche unter dem Graphen der Funktion f(x) = 1/x zwischen den Stellen 1 und s > 0.
Eine Stammfunktion von 1/x ist der natürliche Logarithmus ln x. Das ergibt sich ganz einfach aus (ln x)' = 1/x. Da ln(1) = 0 ist, lautet die Antwort ln s. Diese Erkenntnis wird manchmal dazu benutzt, die Argumentation umzukehren und den natürlichen Logarithmus über die Beziehung

x   ln x  =   ò      dt t       1

(14)

zu definieren. (Beachten Sie, dass die Integrationsvariable hier mit einem anderen Buchstaben als x, der oberen Grenze, bezeichnet wird). Diese Definition hat den Vorteil, dass sie kurz ist und - sofern der Integralbegriff als bekannt vorausgesetzt werden darf - keinerlei Vorbereitungen über Potenzen mit nicht-ganzzahligen Exponenten und über die Eulersche Zahl e bedarf.

Ist f eine stetige Funktion, so ist

x    F(x)  =    ò  f(x') dx'     a

(15)

eine Stammfunktion (d.h. ein unbestimmtes Integral) von f, wobei die Stelle a beliebig gewählt werden kann. Das folgt unmittelbar daraus, dass F eine Flächenfunktion darstellt (wir haben sie im vorigen Abschnitt A genannt) und aus unserem obigen Ergebnis (10). Beachten Sie die Schreibweise in (15): Man vermeidet es, die Integrationsvariable mit dem gleichen Symbol zu bezeichnen wie eine Integrationsgrenze. Das unbestimmte Integral lässt sich also als bestimmtes Integral (mit unbestimmter unterer Grenze) darstellen. Die Aussage F '(x) = f(x) kann auch in der Form

d dx   x       ò  f(x') dx'   =   f(x)     a

(16)

geschrieben werden. In Worten lautet sie: Die Ableitung eines bestimmten Integrals nach der oberen Integrationsgrenze ergibt den Integranden. Das ist eine Möglichkeit, die Idee des Integrierens als "Umkehrung des Differenzierens" durch eine Formel auszudrücken. Eine andere ergibt sich, indem wir (12) in der Form

b   ò  F '(x) dx   =   F(b) - F(a)  a

(17)

schreiben, die für jede differenzierbare Funktion F gilt. In Worten: Das bestimmte Integral über eine Ableitung ergibt die Differenz der Funktionswerte des Integranden an den Integrationsgrenzen. Sowohl (16) als auch (17) können als Varianten des Hauptsatzes (12) angesehen werden. Letzte Beziehung stellt in kompakter Form dar, was wir tun müssen, um ein bestimmtes Integral zu berechen: Man finde eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist, und bilde die Differenz ihrer Werte an den Integrationsgrenzen.

Zum Verständnis des Integrals und zur Festigung der Intuition über diesen Begriff ist es lehrreich, sich einige Zusammenhänge zwischen den Funktionen f und F zu verdeutlichen. So verschwindet etwa die Ableitung von F genau an den Nullstellen von f. Wechselt f an einer solchen Nullstelle das Vorzeichen, so besitzt F dort ein lokales Extremum. Das nebenstehende Applet erlaubt es Ihnen, mit der Maus eigene Funktionsverläufe von f hervorzuzaubern, sich davon zu überzeugen, wie sich gewisse Eigenschaften von f in jenen von F widerspiegeln, und mit diesen Zusammenhängen ein bisschen zu experimentieren.

Ist c eine Konstante und F eine Stammfunktion von f, so ist cF eine Stammfunktion von cf. In Worten: Die Stammfunktion eines Vielfachen ist das Vielfache der Stammfunktion.
Beweis: (cF(x))' = cF '(x) = cf(x).
Diese Regel überträgt sich auf bestimmte Integrale in der Form

b   b   ò  c f(x) dx   =   c  ò  f(x) dx, a   a

(18)

in der die Stetigkeit von f übrigens nicht vorausgesetzt werden muss. Von der geometrischen Anschauung her ist sie leicht verständlich: Der Flächeninhalt unter dem Graphen einer mit dem Faktor c multiplizierten Funktion ist gleich dem c-fachen des ursprünglichen Flächeninhalts. Für das praktische Rechnen bedeutet sie: Eine Konstante darf aus einem Integral herausgezogen werden.

Ist F eine Stammfunktion von f und G eine Stammfunktion von g, so ist F + G eine Stammfunktion von f + g. In Worten: Die Stammfunktion einer Summe ist die Summe der Stammfunktionen.
Beweis: (F(x) + G(x))' = F '(x) + G '(x) = f(x) + g(x).
Diese Regel überträgt sich auf bestimmte Integrale in der Form

b   b   b   ò  ( f(x) + g(x)) dx   =     ò  f(x) dx  +    ò  g(x) dx, a   a   a

(19)

in der die Stetigkeit von f und g nicht vorausgesetzt werden muss. Von der geometrischen Anschauung her ist sie leicht verständlich: Der Flächeninhalt unter dem Graphen einer Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Flächeninhalte unter den Graphen der Summanden. Für das praktische Rechnen bedeutet sie: Eine Summe von bestimmten Integralen mit denselben Integrationsgrenzen kann zu einem Integral zusammengezogen werden.

Die beiden Regeln (18) und (19) zusammen drücken die Tatsache aus, dass das Integrieren eine "lineare Operation" ist.

Wird ein und dieselbe Funktion f über zwei angrenzende Intervalle integriert, so ist die Summe dieser beiden Integrale gleich dem Integral über die Vereinigung der beiden Intervalle:

b   c   c   ò  f(x) dx  +    ò  f(x) dx  =    ò  f(x) dx . a   b   a

(20)

Auch für diese Regel muss die Stetigkeit des Integranden nicht vorausgesetzt werden. Von der geometrischen Anschauung her ist sie leicht verständlich: Der Inhalt einer Fläche, die sich aus zwei Stücken zusammensetzt, ist gleich der Summe der einzelnen Flächeninhalte. Sie gilt übrigens auch dann, wenn nicht unbedingt a £ b £ c ist. Wir erinnern in diesem Zusammenhang an die Rechenregel (13).

Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so

• ist F(x + a) eine Stammfunktion von f(x + a) und
• k^-1F(kx) eine Stammfunktion von f(kx).

Zum Beweis differenzieren Sie einfach die angegebenen Stammfunktionen! Damit ergeben sich beispielsweise die unbestimmten Integrale von sin(x + a) und e^kx sofort aus jenen von sin x und e^x zu -cos(x + a) und k^-1e^kx.

Ist F eine Stammfunktion von f und g differenzierbar, so ist das unbestimmte Integral des Produkts f g durch

ò  f(x) g(x) dx   =   F(x) g(x)  -    ò  F(x) g'(x) dx

(21)

gegeben. Diese Formel erinnert ein bisschen an die Produktregel für die Ableitung, stammt auch von dieser ab, hat aber eine kompliziertere Struktur. Der wichtigste Schritt besteht darin, von einem der beiden Faktoren ( f ) die Stammfunktion, vom anderen (g) die Ableitung zu bilden, um zum Integral auf der rechten Seite zu gelangen. Leider ist durch nichts garantiert, dass dieses einfacher zu berechnen ist als das auf der linken. Immerhin ist das manchmal der Fall, und so gehört die Methode der partiellen Integration zum Standardrepertoire der Integralrechnung.

Als Beispiel berechnen wir das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus. Dazu verwenden wir die Tatsache, dass (ln x)' = 1/x ist und wenden einen genialen Trick an: Der Integrand ln x wird in der Form 1 × ln x geschrieben, und Formel (21) wird mit f(x) = 1 und g(x) = ln x angewandt. Eine Stammfunktion von 1 ist x, womit sich F(x) = x und g'(x) = 1/x ergibt. Simples Einsetzen in (21) liefert

ò  ln x dx  =  x ln x -  ò dx  =  x ln x - x,

(22)

wobei wir für ò1dx einfach òdx geschrieben haben. Überprüfen Sie dieses Resultat durch Differenzieren (d.h. checken Sie, dass die Ableitung von x ln x - x gleich ln x ist)!

Wenn Sie diese Methode für andere Integrale üben wollen, benutzen Sie sie, um òxsinxdx, òxcosxdx, òx²sinxdx und òx²cosxdx zu berechnen. (Erinnern Sie sich: Die Stammfunktionen von sinx und cosx sind -cosx und sinx, die Ableitungen von x und x² sind 1 und 2x). Integrale dieser Art werden in der Theorie der Fourierreihen benötigt.

Für bestimmte Integrale nimmt Regel (21) die Form

b   ½ b   b   ò  f(x) g(x) dx   =   F(x) g(x)       -    ò  F(x) g'(x) dx  a   a   a

(23)

an.

Manchmal ist es günstig, beim Berechnen eines Integrals die Variable als Funktion einer anderen Größe u aufzufassen. Wir schreiben diese Abhängigkeit als x º x(u), verlangen, dass die dadurch definierte Funktion differenzierbar ist und schreiben deren Ableitung als x'(u) oder dx(u)/du. Weiters soll es sich um eine umkehrbare Zuordnung (eine bijektive Funktion) handeln, d.h. es soll auch möglich sein, u durch x auszudrücken, was wir einfach als u º u(x) schreiben.

Dann ist das bestimmte Integral von f durch

ò  f(x) dx   =   ò  f(x(u)) x'(u) du

(24)

gegeben, wobei auf der rechten Seite nach der Berechnung u durch u(x) zu ersetzen ist. Dadurch entsteht ein neuer Integrand, für den die weitere Berechnung leichter sein kann. Diese Identität stammt von der Kettenregel ab. Für bestimmte Integrale nimmt sie die Form

x2   u2   ò  f(x) dx   =   ò  f(x(u)) x'(u) du  x1   u1

(25)

an, wobei die Grenzen x₁ und u₁ (sowie x₂ und u₂) einander entsprechende Werte sind (d.h. u₁ = u(x₁) und u₂ = u(x₂) oder, was dasselbe bedeutet, x₁ = x(u₁) und x₂ = x(u₂)). Eine andere Form, (25) auszudrücken, ist

x2   u2   ò  f(x) dx   =   ò  f(x(u))   dx(u) du   du . x1   u1

(25' )

Die Grundstruktur dieser Formel kann man sich leicht merken: Die Regel besteht im Wesentlichen darin, unter dem Integral den Bruch 1 = du/du einzuschieben und den "Quotienten" dx/du als Ableitung, d.h. dx(u)/du, zu interpretieren. Der Rest besteht dann nur darin, u anstelle von x als neue Integrationsvariable aufzufassen und die Grenzen entsprechend anzupassen. Das ist ein schönes Beispiel dafür, wie die Deutung der Symbole dx und du als "Differentiale" die Intuition anspricht.

Die Substitution (="Ersetzung") der Integrationsvariable durch eine andere ist eine wichtige Integrationstechnik. Betrachten wir ein

Beispiel: Wir wollen das unbestimmte Integral von 4xsin(x²) ermitteln. Dazu verwenden wir die neue Variable u = x² (oder, was dasselbe bedeutet, x = u^1/2). Solange x ³ 0 und u ³ 0 ist, besteht eine umkehrbare Entsprechung zwischen x und u. Um die Substitution auszuführen, berechnen wir x'(u) º dx/du = (1/2) × u^-1/2, formen um zu dx = u^-1/2du/2 und setzen in das unbestimmte Integral ein, womit sich folgende Rechnung ergibt:

ò  4xsin(x2) dx   =   ò  4u1/2sin u u-1/2 du/2   =	(26)
=   ò  2sin u du  =  -2cos u  =  -2cos(x2) .

Wir hätten statt dessen auch damit beginnen können, die Ableitung der inversen Funktion u'(x) º du/dx = 2x zu berechnen (damit sparen wir uns die halbzahligen Exponenten) und zu dx = du/(2x) umzuformen. Durch Differenzieren überzeugt man sich übrigens, dass dieses Resultat für alle x (nicht nur für x ³ 0) gilt.
Anmerkung: Der letzte Schritt in (26), das "Rücksubstituieren", also das Ersetzen von u durch x², damit das Resultat in der ursprünglichen Variablen ausgedrückt ist, darf nicht vergessen werden!

Welche neue Variable für ein gegebenes Integral die günstigste ist, ergibt sich manchmal erst nach ein paar Versuchen. Unter Umständen muss man das nach einer Substitution erhaltene Integral mit einer weiteren Substitution bearbeiten, um zu einer Lösung zu kommen. Wenn Sie viele derartige Aufgaben rechnen (müssen), werden Sie einen gewissen Blick dafür entwickeln.

Beweisen Sie als Übungsaufgabe die beiden Aussagen der obigen Regel 5 unter Anwendung von (24) mit geeigneten neuen Variablen!

Dabei handelt es sich um eine Methode, den Term einer rationalen Funktion (d.h. des Quotienten zweier Polynome) in einer systematischen Weise so umzuschreiben, dass seine Stammfunktion ermittelt werden kann. Dank der Existenz dieser Methode kann die Integration rationaler Funktionen zuverlässig vom Computer übernommen werden. Wir erläutern sie lediglich anhand eines Beispiels (siehe nebenstehenden Button). Ein Online-Werkzeug, das die Partialbruchzerlegung auf Funktionen Ihrer Wahl anwendet, werden wir weiter unten angeben.

(sinx)/x

• Die Stammfunktionen mancher einfacher Funktionen lassen sich mit ein bisscher Erinnerung an das Differenzieren und an die Ableitungen spezieller Funktionen leicht erraten, andere werden Sie in der soeben vorgestellten Tabelle finden. Für lineare Kombinationen (Vielfache und Summen) beachten Sie die obigen Regeln 2 und 3.
   
• Bei Funktionen, die zusätzliche Konstante enthalten, wie etwa sin(x + a), e^kx und (1 + a²x²)^-1, hilft manchmal die obige Regel 5 weiter.
   
• Integrieren heißt probieren und improvisieren. Das gilt insbesondere dann, wenn Sie Stammfunktionen bestimmen und die benutzen Methoden dokumentieren sollen. Welche Methode schließlich zum Ziel führt, ist oft erst klar, wenn Sie die gesuchte Stammfunktion gefunden haben. Wenn Sie viel mit Integralrechnung zu tun haben, werden Sie mit der Zeit ein gewisses Gefühl dafür entwickeln.
   
• In einer bestimmten Hinsicht kann Integrieren sehr einfach sein: Durch Differenzieren läßt sich leicht entscheiden, ob eine gegebene Funktion F eine Stammfunktion der (auch gegebenen) Funktion f ist. Nutzen Sie daher Integrationstabellen oder die unten zu besprechenden Computerwerkzeuge! Auch wenn Sie daran interessiert sind, alle nötigen Rechnungen selbst durchzuführen, können Sie den in einer Tabelle gefundenen oder von einem Computeralgebra-System ausgegebenen Term für die Stammfunktion als Vorschlag betrachten. Wenn Sie sich dann selbst davon überzeugen, dass dieser tatsächlich eine Stammfunktion ist, behalten Sie die volle Kontrolle über die Richtigkeit des Ergebnisses, können sich aber viel Arbeit ersparen.

• Ist die Stammfunktion F von f einmal gefunden, so ist das bestimmte Integral über f in den Grenzen von a bis b durch die Differenz F(b) - F(a) gegeben. Aber Vorsicht: Haben Sie einen Term für F ermittelt, so könnte es passieren, dass zwischen den Stellen a und b eine Singularität liegt. In diesem Fall ist die durch den Term dargestellte Funktion nicht im gesamten Integrationsbereich differenzierbar, also gar keine Stammfunktion!

  
  Beispiel: Eine Stammfunktion von 1/x² ist -1/x. Gilt daher
  

  1   ½ 1   ò  dx/x2   =   -1/x      =   -1 + 1  =  0 ? -1   -1

  (27)

  
  Nein! Sehen Sie sich den Graphen des Integranden an (z.B. mit dem Funktions-Plotter). Tatsächlich hat die Fläche unter dem Graphen von 1/x² zwischen -1 und 1 einen unendlich großen Inhalt.
  Und wieso hat die obige Rechnung ein falsches Ergebnis geliefert? Der Grund ist einfach: -1/x ist eine Stammfunktion von 1/x² im Bereich x < 0 und im Bereich x > 0, nicht aber in einem Intervall, das die Stelle 0 enthält (denn dort sind beide Funktion gar nicht definiert).

  Überprüfen Sie daher immer vor dem Einsetzen der Grenzen, ob der Term für die Stammfunktion im Integrationsbereich Singularitäten besitzt. (Sehen Sie sich zumindest Plots von Integrand und Term der Stammfunktion an!)
   
• Wenn Sie einen konkreten Flächeninhalt berechnen sollen, so beachten Sie, dass Flächen unterhalb der x-Achse mit negativem Vorzeichen zum Integral beitragen.

  
  Beispiel: Sei f(x) = x² - 1. Man berechne den Inhalt der im nebenstehenden Diagramm dargestellten Fläche. Gesucht ist also die Summe der Inhalte der beiden Flächenstücke, von denen eines oberhalb, eines unterhalb der x-Achse liegt. Wenn Sie hier das bestimmte Integral der gegebenen Funktion in den Grenzen von 0 bis 2 berechnen, so erhalten Sie nicht den gesuchten Flächeninhalt, sondern die Differenz der beiden Inhalte. Statt dessen müssen die beiden Stücke zunächst getrennt behandelt werden: Die (positive) Nullstelle unserer Funktion liegt bei x = 1, daher bilden wir (die Details der Rechnung lassen wir Ihnen über)
  

  1   2   ò  (x 2 - 1) dx  =  -2/3    und     ò  (x 2 - 1) dx  =  4/3. 0   1

  
  Die gesuchte Fläche ist daher 2/3 + 4/3 = 2, während das bestimmte Integral von 0 bis 2 gleich -2/3 + 4/3 = 2/3 ist.

  Orientieren Sie sich daher bei derartigen Aufgaben vor der Rechnung über die Lage der beteiligten Flächen in Bezug auf die x-Achse!
   
• In manchen Aufgaben ist der Inhalt einer Fläche zu berechnen, die zwischen zwei Funktionsgraphen liegt. Flächeninhalte dieser Art lassen sich als Differenzen von bestimmten Integralen ermitteln. Liegen etwa beide Graphen oberhalb der x-Achse, so gehen Sie nach folgendem (symbolisch gemeinten) Schema vor:
  
  Dies lässt sich verallgemeinern auf den Fall, dass im gesamten Integrationsbereich einer der beiden Graphen oberhalb des anderen liegt. Auch dann ist die gesuchte Fläche das bestimmte Integral über die Differenz der beiden Funktionen. (Beweis: Verschieben Sie alle Graphen des obigen Diagramms um dieselbe Strecke nach unten, so dass die zu berechnende Fläche teilweise oder ganz unterhalb der x-Achse zu liegen kommt, so fällt der Effekt dieser Verschiebung in der Differenz auf der rechten Seite wieder heraus).
  
  Mehr über Flächenberechnungen werden wir im Kapitel über die Anwendungen der Integralrechnung sagen.

-¥

-¥

Beispiel:

¥     ½ ¥   ò     1 x2   dx  =    -   1 x     =  1 .       1     1

(29)

Dass das Integral konvergent ist, erkennen wir daran, dass die Stammfunktion -1/x für x ® ¥ einen Grenzwert besitzt (nämlich 0). Etwas oberflächlich könnte man sagen, die obere Grenze führt zu einem Beitrag -1/¥, was 0 und daher endlich ist.

Beispiel:

1     ½ 1   ò       1 ____    __ Ö x   dx  =   2    __ Ö x       =  2 .       0     0

(30)

Dass das Integral konvergent ist, erkennen wir daran, dass die Stammfunktion 2x^1/2 für x ® 0 einen Grenzwert besitzt (nämlich 0).

Das Integral desselben Integranden von einer beliebigen (positiven) unteren Grenze bis ¥ ist übrigens ebenso divergent wie das Integral des Integranden von (29) über das Intervall [0, 1].

Verallgemeinerung: Untersuchen Sie als Übungsaufgabe das entsprechende Verhalten aller Potenzfunktionen x^-p mit p > 0, so werden Sie erkennen, dass (außer für p = 1) jede dieser Funktionen ein "endliches" und ein "unendliches" Flächenstück besitzt. Die Situation für p > 1 ähnelt dem im linken, jene für p < 1 dem im rechten der drei obigen Diagramme wiedergegebenen Sachverhalte.

Mit dem nebenstehenden Button können Sie ein Beispiel für die Anwendung der Substitutionsmethode (obige Regel 7) auf solche Integrale aufrufen. Es handelt sich um ein Gaußsches Integral wie (31), nur dass der Exponent -x² durch den allgemeineren Ausdruck -ax² + bx ersetzt wird. Als zusätzliche Technik wird dabei das "Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat", das wir in einem früheren Kapitel bei der Lösung quadratischer Gleichungen benutzt haben, verwendet.

• Es besteht keine Garantie auf ein Resultat.
• Manchmal werden Funktionen ausgegeben, deren Namen Sie vielleicht nicht kennen. (Integrieren Sie beispielsweise e^-x2, so kann das Resultat die Bezeichnung "erf" oder "Erf" - für error function - enthalten). In der Regel bedeutet das, dass die angegebene Funktion nicht geschlossen integrierbar (s.o.), für gewisse Zwecke aber wichtig genug ist, um einen eigenen Namen erhalten zu haben.
• Obwohl die von Computeralgebra-Systemen verwendeten Algorithmen immer besser und Fehler immer seltener werden, sollten Sie, wenn sie ganz sicher gehen wollen, einen als Stammfunktion ausgegebenen Funktionsausdruck durch Differenzieren überprüfen.
• Bei der Berechnung von bestimmten Integralen ist besondere Vorsicht geboten: Ist die Stammfunktion F einmal gefunden, so ist das bestimmte Integral von a bis b durch die Differenz F(b) - F(a) gegeben. Natürlich können Computer diese Einsetzung vornehmen. Es ist für sie aber nicht in jedem Fall leicht, zu erkennen, ob zwischen den Stellen a und b Singularitäten liegen, d.h. ob der als Stammfunktion vorgeschlagene Term tatsächlich eine im gesamten Integrationsbereich differenzierbare Funktion ist, deren Ableitung mit dem Integranden übereinstimmt! Obwohl Computeralgebra-Systeme derartige Fehlerquellen immer besser erkennen, sollten Sie, wenn Sie ganz sicher gehen wollen, eine eigene Überprüfung durchführen.
• Manchmal bietet das Ergebnis einer numerischen (d.h. näherungsweisen) Integration eine zusätzliche Überprüfung.

• Im Integration Assistant können Sie die Anwendung verschiedener Integrationsregeln (s.o.) durchspielen: Geben Sie einen Funktionsterm ein und wählen Sie die gewünschte Methode. Das Programm versucht dann, sie durchzuführen.
• Ein spezielles Werkzeug berechnet die Partialbruchzerlegung (siehe oben) einer eingegebenen rationalen Funktion (integriert aber nicht).
• Weiters können Sie bestimmte Integrale als Riemann-Summen (siehe oben) mit einer von Ihnen vorgegebenen Genauigkeit approximieren.

• Ein eigenes Kapitel ist der Erschließung einiger Anwendungen der Integralrechnung gewidmet. In ihm werden wir Flächen behandeln, die von beliebigen Kurven begrenzt werden (z.B. anhand der Kreisfläche eine genaue Definition der Zahl p geben) und uns mit Volumsberechnungen, der Ermittlung der Länge einer Kurve und Schwerpunktberechnungen beschäftigen. Insbesondere letzteres gibt dem bestimmten Integral eine weitere Deutung, die wir bereits oben erwähnt haben: als kontinuierliche Verallgemeinerung des Mittelwerts von Zahlen bzw. des Begriffs der Summe.
• In der Wahrscheinlichkeitsrechnung treten so genannte kontinuierliche Verteilungen auf (ein Beispiel ist der Integrand von (31)), die mit Hilfe des Integralbegriffs interpretiert werden.
• Ein anderes Kapitel ist der Integration von Funktionen in mehreren Variablen und den so genannten Integralsätzen vorbehalten. Mit ihrer Hilfe können beispielsweise elektromagnetische Felder oder Strömungsverhältnisse in Flüssigkeiten analysiert werden.
• Integration ist unabdingbar bei der Lösung von Differentialgleichungen. So werden etwa physikalische Bewegungsgesetze in Form von Differentialgleichungen aufgeschrieben - um aber konkrete Bewegungsabläufe zu erhalten, müssen wir diese Gleichungen lösen.
• Integralrechnung spielt in der Theorie der Fourierreihen eine wichtige Rolle.
• Im Rahmen der komplexen Zahlen ergibt sich ein Integrationsbegriff, die so genannte komplexe Integration, der sich vom hier besprochenen erheblich unterscheidet. Im Kapitel über die komplexen Zahlen haben wir dazu ein paar Bemerkungen gemacht.