1. Als Verbindungsvektor: Sind zwei Punkte P und Q gegeben, so legen sie einen Pfeil fest, indem P als Schaft und Q als Spitze interpretiert wird. Dieser Pfeil (genauer: der Vektor, der zu diesem Pfeil gehört) heißt Verbindungsvektor von P nach Q (oder einfach Vektor von P nach Q) und wird mit dem Symbol
   

   ® PQ

   
   bezeichnet. Können wir die Komponenten des Verbindungsvektors berechnen, wenn die Koordinaten der beiden Punkte gegeben sind? Gewiss können wir das, und es ist gar nicht so schwierig: Schauen Sie sich die obige Skizze genauer an! Ist
   

   P(p1, p2)     und     Q(q1, q2) ,

   (6)

   
   so ist der Verbindungsvektor von P nach Q durch
   

   ®    =     (q1 - p1, q2 - p2)   PQ

   (7)

   
   gegeben. Das ist eine einfache, aber wichtige Regel. Sie ist es wert, auswendig gemerkt zu werden! In Worten lautet sie: Man subtrahiere die Koordinaten des Schaftes von jenen der Spitze. Sie gilt für beliebige Punkte P und Q. Nennen wir sie die "Spitze minus Schaft"-Regel.
    
2. Als Verschiebungsvektor: Ist ein Vektor a gegeben, so können wir ihn dazu benutzen, jeden Punkt der Ebene um ein Stück zu verschieben. Dazu fassen wir einen beliebigen Punkt P als Schaft auf, hängen einen Pfeil, der den Vektor darstellt, dran, und verschieben den Punkt bis zur Spitze P '. Auf diese Weise entsteht eine Verschiebung (Translation) aller Punkte der Ebene in die gleiche Richtung und um die selbe Strecke.
   
   Jeder Vektor legt genau eine Verschiebung fest, und umgekehrt kann jede Verschiebung durch einen eindeutig bestimmten Vektor beschrieben werden. Ist a = (a₁, a₂), so besteht die Wirkung der Verschiebung darin, jeden Punkt P(p₁, p₂) in den Punkt P '(p₁ + a₁, p₂ + a₂) überzuführen. Berechnen wir zur Kontrolle mit Hilfe der Regel (7) den Verbindungsvektor von P nach P ': Es ergibt sich (a₁, a₂), was genau der Vektor a ist.
    
3. Als Ortsvektor: Da die Lage eines Punktes in der Zeichenebene durch ein Zahlenpaar (seine Koordinaten) bestimmt ist, und da ein zweikomponentiger Vektor ebenfalls ein Zahlenpaar ist, können wir Komponenten mit Koordinaten und daher Vektoren mit Punkten identifizieren: Dem Punkt A(a₁, a₂) entspricht der Vektor A = (a₁, a₂) und umgekehrt. Vektoren in dieser Eigenschaft heißen Ortsvektoren (da sie einen Ort angeben). Im Gegensatz dazu wird ein Verbindungsvektor (ein bisschen schlampig) auch Richtungsvektor genannt (da seine Hauptaufgabe oft darin besteht, eine Richtung anzugeben, aber keinen Ort).

   
   Zur Bezeichnungsweise: Im Sinne einer transparenten Notation ist es günstig (aber nicht unbedingt notwendig), für einen Punkt und seinen Ortsvektor denselben Buchstaben zu verwenden. In der von uns verwendeten Schreibweise erkennen wir durch den Fettdruck, dass A als Vektor gemeint ist, während A für den Punkt steht. (Es gibt aber auch eine großzügigere Konvention, in der nicht einmal dieser Unterschied gemacht werden muss). Der Klarheit halber werden wir Punkte immer mit Großbuchstaben und die zugehörigen Ortsvektoren mit den entsprechenden fettgeduckten Großbuchstaben bezeichnen.

   Der Ortsvektor A eines Punktes A lässt sich als spezieller Verbindungsvektor deuten:
   

   A   =    ® ,  OA

   (8)

   
   wobei O für den Ursprung steht. Ortsvektoren sind also nichts anderes als Pfeile, deren Schaft der Ursprung ist. Dank dieser Deutung kann die Menge aller (zweikomponentigen) Vektoren mit der Zeichenebene, d.h. R², identifiziert werden.

Manchmal wird anstelle eines "allgemeinen" Punktes (x, y) dessen Ortsvektor x = (x, y), auch Radiusvektor genannt, verwendet. So können wir etwa die x-Achse als "Menge aller x, deren zweite Komponente 0 ist" auffassen. Ein anderes Beispiel (das Sie ignorieren können, falls Sie den Funktionsbegriff noch nicht kennen): Es ist bequem, eine Funktion in zwei Variablen als f º f(x) anstelle der längeren Form f º f(x, y) anzuschreiben. In diesem Sinn stellt die Größe x zwei Variable gleichzeitig dar.

• als Verbindungsvektor eines Punktes mit sich selbst,
• als Spezialfall einer Verschiebung, die jeden Punkt dort belässt, wo er ist, oder
• als Ortsvektor des Ursprungs.

1. Als Verbindungsvektor: Ist
   

   P(p1, p2, p3)     und     Q(q1, q2, q3) ,

   (11)

   
   so ist der Verbindungsvektor von P nach Q durch
   

   ®    =     (q1 - p1, q2 - p2, q3 - p3)   PQ

   (12)

   
   gegeben (eine weitere "Spitze minus Schaft"-Regel). Ein Verbindungsvektor wird (ein bisschen schlampig) auch Richtungsvektor genannt (da seine Hauptaufgabe oft darin besteht, eine Richtung anzugeben).
    
2. Als Verschiebungsvektor: Ist a = (a₁, a₂, a₃), so besteht die Wirkung der Verschiebung darin, jeden Punkt P(p₁, p₂, p₃) in den Punkt P '(p₁ + a₁, p₂ + a₂, p₃ + a₃) überzuführen. Als Kontrolle ergibt sich mit Hilfe der Regel (12) der Verbindungsvektor von P nach P ' zu (a₁, a₂, a₃), was genau der Vektor a ist.
    
3. Als Ortsvektor: Dem Punkt A(a₁, a₂, a₃) entspricht der Vektor A = (a₁, a₂, a₃) und umgekehrt. Auch in diesem Fall verwenden wir die Konvention, dass der Ortsvektor eines Punktes mit dem selben (Groß-)Buchstaben in Fettdruck bezeichnet wird. Der Ortsvektor A eines Punktes A lässt sich als spezieller Verbindungsvektor deuten:
   

   A   =    ® ,  OA

   (13)

   
   wobei O für den Ursprung steht. Dank dieser Deutung kann die Menge aller (dreikomponentigen) Vektoren mit dem (dreidimensionalen) Raum, d.h. R³, identifiziert werden.

Anstelle eines "allgemeinen" Punktes (x, y, z) kann dessen Ortsvektor x = (x, y, z), auch Radiusvektor genannt, verwendet werden. So können wir etwa die xy-Ebene als "Menge aller x, deren dritte Komponente 0 ist" auffassen. Ein anderes Beispiel (das Sie ignorieren können, falls Sie den Funktionsbegriff noch nicht kennen): Es ist bequem, eine Funktion in drei Variablen als f º f(x) anstelle der längeren Form f º f(x, y, z) anzuschreiben. In diesem Sinn stellt die Größe x drei Variable gleichzeitig dar.

1. Bilden des Vielfachen eines Vektors (oder Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar): Sei c ein Skalar, d.h. eine reelle Zahl. Von jedem Vektor kann das c-fache gebildet werden, indem alle seinen Komponenten mit c multiplitziert werden. Das c-fache des Vektors a bezeichnen wir als ca. (So ist etwa 2a das Doppelte von a). Für einen zweikomponentigen Zeilenvektor sieht das so
   

   c (a1, a2)   =   (ca1, ca2)

   (16)

   
   und für einen dreikomponentigen Spaltenvektor so
   

   c  æ  b1  ö    =    æ  cb1  ö   ç  b2  ÷ ç  cb2  ÷ è  b3  ø è  cb3  ø

   (17)

   
   aus. Für c ¹ 0 schreiben wir anstelle von c^-1a auch a/c.
    
2. Bilden der Summe zweier Vektoren gleichen Typs (Vektoraddition): Von zwei Vektoren mit gleich vielen Komponenten kann die Summe gebildet werden, indem die einander entsprechenden Komponenten addiert werden. Beispielsweise sieht das für zwei zweikomponentige Zeilenvektoren so
   

   (a1, a2)  +  (b1, b2)   =  (a1 + b1, a2 + b2)  .

   (18)

   
   und für zwei dreikomponentige Spaltenvektoren so
   

   æ  c1  ö   +   æ  d1  ö    =    æ c1 + d1  ö   ç  c2  ÷ ç  d2  ÷ ç c1 + d1  ÷ è  c3  ø è  d3  ø è  c1 + d1  ø

   (19)

   
   aus.

• Assoziativgesetz der Multiplikation mit einem Skalar: c(ka) = (ck)a.
• Multiplikation mit der Zahl 1: 1a = a
• Multiplikation mit der Zahl 0: 0a = 0
• Kommutativgesetz der Vektoraddition: a + b = b + a
• Assoziativgesetz der Vektoraddition: (a + b) + c = a + (b + c)
• Addition des Nullvektors: a + 0 = a
• Distributivgesetze: c(a + b) = ca + cb, (c + k)a = ca + ka
• Das Negative eines Vektors a ist (-1)a und wird als -a bezeichnet. Berechnet wird es komponentenweise, indem von jeder Komponente des Vektors a das Negative gebildet wird.
• Die Differenz zweier Vektoren (d.h. die Rechenoperation der Subtraktion) ist durch a - b = a +(-b) definiert. Berechnet wird sie komponentenweise: Die Komponenten der Differenz sind die Differenzen der Komponenten.

ca

ca

• Ist c > 0, dann wird der a-Pfeil um den Faktor c aufgeblasen (falls c > 1) oder geschrumpft (falls c < 1).
• Ist c < 0, so wird der a-Pfeil um den Faktor |c| aufgeblasen bzw. geschrumpft, und es kommt noch eine Richtungsumkehr dazu.

-a = (-3, -1)

ca

• Seine Länge beträngt das |c|-fache der Länge von a. (Mit der Länge eines Vektors werden wir uns weiter unten noch genauer beschäftigen).
• Je nach dem Vorzeichen von c zeigt er in die gleiche oder in die entgegengesetzte Richtung wie a (ist in jedem Fall aber parallel zu a).

• Zwei Vektoren, von denen (zumindest) einer 0 ist, gelten als zueinander parallel. Diese Feinheit ist in der Rechenpraxis nicht bedeutsam, aber aus formalen Gründen günstig.
  
• Zwei von 0 verschiedene Vektoren a und b sind genau dann zueinander parallel, wenn sie Vielfache voneinander sind (d.h. wenn es einen Skalar c ¹ 0 gibt, so dass a = cb, daher auch a = b/c).
• Auch zwei Vektoren, die in entgegengesetzte Richtungen zeigen (also negative Vielfache voneinander sind), werden als zueinander parallel bezeichnet. (Nach einer anderen Konvention heißen solche Vektoren antiparallel).

|b|

• a sagt: "Gehe von meinem Schaft bis zu meiner Spitze".
• Sind wir dort angelangt, sagt b: "Gehe von meinem Schaft bis zu meiner Spitze".

Ein derartiges Verhalten von Pfeilen ist in der Physik bei Geschwindigkeiten und Kräften bekannt (die beide "gerichtete Größen" sind und durch Vektoren beschrieben werden). Die Summe zweier Vektoren wird dort die resultierende (Geschwindigkeit bzw. Kraft) genannt.

®   ®   ®   AB + BC   =   AC

Diese Art, mit Pfeilen zu hantieren, mag Ihnen vielleicht allzu trivial erscheinen. Wir dürfen aber nicht vergessen, dass all diese Diagramme mit konkreten Rechenvorgängen verbunden sind. Umgekehrt bedeutet das, dass wir jetzt in die Lage kommen, geometrische Sachverhalte durch Rechnungen analysieren zu können.
Übungsaufgabe: Man prüfe (durch Rechnen, nicht durch Zeichnen!) nach, ob sich die Vektoren (1, -3), (-3, 1) und (2, 1) nach Art der Skizze rechts oben zu einem Dreieck zusammenfügen lassen oder nicht!
Lösung: Wir addieren die drei Vektoren: (1, -3) + (-3, 1) + (2, 1) = (1 - 3 + 2, -3 + 1 + 1) = (0, -1), was nicht der Nullvektor ist. Daher schließen sich die drei Vektoren nicht auf die verlangte Weise.

Differenz zweier Vektoren: "Spitze minus Schaft"-Regel		Verbindungsvektor als Differenz der Ortsvektoren

a - b = a +(-b)

Aufgabe: Von einem (verdrehten) Quadrat seien, gemäß der nebenstehenden Skizze, der Punkt G(56, 23) und der Vektor a = (16, -10) gegeben. Gesucht sind die Koordinaten seines Mittelpunkts M.
Lösung: Um den Ortsvektor von M zu finden, konstruieren wir ihn zuerst als Summe von Vektoren, indem wir einen kleinen Spaziergang machen: Wir beginnen am Ursprung, gehen von dort nach G und folgen dann dem Vektor -a (den wir uns mit dem Schaft in G gehängt denken) bis M. Daher ist M = G +(-a) = G - a. Jetzt setzen wir die gegebenen Zahlen ein: M = (56, 23) - (16, -10) = (40, 33) und haben damit die Koordinaten von M bestimmt: M(40, 33). Klicken Sie hier, um in der Skizze die Darstellung von M als Summe an- und abzuschalten!

1. Halbierungspunkt einer Strecke: Sind A und B zwei Punkte (in der Ebene oder im Raum), und ist H der Halbierungspunkt der Strecke, die A und B verbindet, so gilt
   

   H  =    1 2  (A + B)  .

   (21)

   
   Versuchen sie, den Beweis selbst zu führen, bevor Sie ihn sich ansehen! Diese Formel sieht nicht zufällig der für den Mittelwert zweier Zahlen ähnlich - wir können H tatsächlich als Mittelwert zweier Vektoren verstehen.

2. Streckenteilungen: Seien A und B zwei Punkte (in der Ebene oder im Raum) und T ein Punkt auf der Strecke, die A und B verbindet. Wird die Länge AB durch T im Verhältnis AT : TB = m : l geteilt (l, m > 0), dann gilt
   

   T  =    1 l + m  (lA + mB)  .

   (22)

   
   Für l = m ergibt sich als Spezialfall der Halbierungspunkt (21). Ein Ausdruck der Form (22) kann auch als gewichtetes Mittel zweier Vektoren verstanden werden. (Je nach dem Verhältnis von l zu m tragen A und B verschieden viel bei, bekommen also verschiedene "Gewichte"). Der Begriff der "Teilung" kann übrigens auf den Fall verallgemeinert werden, dass l oder m negativ ist. Dann liegt T zwar auf der Geraden durch A und B, aber außerhalb ihrer Verbindungsstrecke (und heißt äußerer Teilungspunkt).

3. Schwerpunkt einer Menge von Punkten: Sind A₁, A₂, ... A_n endlich viele Punkte (in der Ebene oder im Raum), so wird ihr Schwerpunkt als
   

   S  =    1 n  (A1 + A2 + ... + An)

   (23)

   
   definiert. Ebenso wie der Halbierungspunkt (21) einer Strecke (die sich als Spezialfall für n = 2 ergibt), kann auch S als Mittelwert (von n Vektoren) interpretiert werden. Physikalisch entspricht S dem Massenmittelpunkt einer endlichen Menge von (gleich schweren) Massenpunkten. Der Fall n = 3 ist für das Studium der geometrischen Eigenschaften von Dreiecken (der so genannten Trigonometrie) bedeutsam. Interessanterweise fällt dann S mit dem Schwerpunkt der durch die drei Punkte A₁, A₂ und A₃ definierten Dreiecksfläche zusammen (physikalisch ausgedrückt: wenn Sie ein homogenes Dreieck in diesem Punkt aufhängen, kippt es nicht) und wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet.

Beispiel: Von einem Parallelogramm sind die Punkte A(0, 1) und B(4, 2) sowie der Mittelpunkt M(3, 4) gegeben. Gesucht sind die (Koordinaten der) Punkte C und D.
Lösung: Von Vektoren ist in dieser Aufgabe keine Rede, aber wir benutzen sie als Werkzeug, um schnell ans Ziel zu kommen: Mit A und M kennen wir auch den Verbindungsvektor

®    =     M - A . AM

Da es sich um ein Parallelogramm handelt, ist dieser Vektor mit

® MC

identisch. Wenn wir also vom Ursprung nach M und von dort weiter nach C gehen, kennen wir alle Vektoren, die auf diesem Weg liegen bzw. können sie leicht berechnen. Der Ortsvektor von C ist daher durch die Summe C = M + (M - A) = 2M - A gegeben. (Hier haben wir die Linearkombination!) Klicken Sie hier, um in der obigen Skizze die Vektoren M (blau) und M - A (grün) in der Anordnung, in der wir sie benötigen, anzuzeigen! Jetzt setzen wir die gegebenen Zahlen ein: C = 2(3, 4) - (0, 1) = (6, 7). Damit ist der Punkt C gefunden: Seine Koordinaten sind (6, 7). Die analoge Berechnung von D überlassen wir Ihnen.
Bemerkung: Die Aufgabe kann auch auf andere Art gelöst werden, z.B. indem wir vom Ursprung nach A gehen, von wo aus das Doppelte des Vektors M - A nach C führt. Das entspricht der Rechnung C = A + 2(M - A) = 2M - A, das Resultat ist klarerweise dasselbe.

Beispiel: Die drei Vektoren a = (3, 2, 1), b = (13, -2, -7) und c = (-2, 4, 5) sind linear abhängig, da b = 3a - 2c. (Rechnen Sie nach!)

• In jeder Dimension gilt: Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie zueinander parallel (kollinear) sind (s.o.).
• Für ebene Vektoren gilt: Eine Menge von drei ebenen Vektoren ist immer linear abhängig.
• Für räumliche Vektoren gilt: Drei räumliche Vektoren sind linear abhängig, wenn sie (als Ortsvektoren aufgefasst) in einer Ebene liegen. (Man nennt sie dann koplanar). Eine Menge von vier räumlichen Vektoren ist immer linear abhängig.
• Es lässt sich zeigen, dass im Rⁿ eine Menge von n + 1 Vektoren immer linear abhängig ist.

Rⁿ

• Ist a = (a₁, a₂) ein ebener Vektor, so ist diese Länge gleich (a₁² + a₂²)^1/2. Geometrisch betrachtet ist dies die Länge der Diagonale eines Rechtecks mit Seitenlängen a₁ und a₂ (siehe nebenstehende Skizze) und folgt unmittelbar aus dem pythagoräischen Lehrsatz.
   
• Ist a = (a₁, a₂, a₃) ein räumlicher Vektor, so haben alle ihn repräsentierenden Pfeile die Länge (a₁² + a₂² + a₃²)^1/2. Geometrisch betrachtet ist dies die Länge der Raumdiagonale eines Quaders mit Seitenlängen a₁, a₂ und a₃. Sie kann durch zweimalige Anwendung des pythagoräischen Lehrsatzes berechnet werden: Ist d die Länge der Diagonale des "Bodenrechtecks" mit Seitenlängen a₁ und a₂, so gilt d² = a₁² + a₂². Die Raumdiagonale ist dann die Diagonale eines "senkrecht stehenden" Rechtecks mit Seitenlängen d und a₃, woraus sich obiger Ausdruck ergibt.

| |

• Für einen zweikomponentigen (ebenen) Vektor a = (a₁, a₂) legen wir fest
  

  |a|  =  (a12 + a22)1/2  .

  (24)

  
  
• Für einen dreikomponentigen (räumlichen) Vektor a = (a₁, a₂, a₃) legen wir fest
  

  |a|  =  (a12 + a22 + a32)1/2  .

  (25)

  
  
• Allgemein ist der Betrag eines n-komponentigen Vektors a = (a₁, a₂, ..., a_n) definiert durch
  

  |a|  =  (a12 + a22 + ... + an2)1/2  .

  (26)

|ca|  =  |c| |a| ,

(27)

|c|

|a/c|  =  |a|/|c|

Achtung: Im Allgemeinen ist |a + b| ¹ |a| + |b|. Es gilt aber immer die so genannte Dreiecksungleichung

|a + b|   £  |a| + |b| .

(28)

Angesichts der geometrischen Bedeutung der Vektoraddition (s.o.) besagt sie, dass der direkte Weg nicht länger sein kann als ein Umweg.

Abstand zwischen P und Q   =   |P - Q| .

(29)

|a| = 1

a |a|

(30)

|a/|a|| = |a|/|a| = 1

|a|^-1

a/|a|

a |a|   +    b |b|

(31)

Aufgabe: Man bestimme die Richtung der Winkelsymmetrale von a = (1, 2) und b = (3, 4).
Lösung: Wir berechnen |a| = (1² + 2²)^1/2 = 5^1/2 und |b| = (3² + 4²)^1/2 = 25^1/2 = 5. Gemäß (30) ist die Richung der Winkelsymmetrale durch den Vektor a/|a| + b/|b| = (1, 2)/5^1/2 + (3, 4)/5 = (5^-1/2 + 3/5, 2 × 5^-1/2 + 4/5) gegeben. Wir könen dieses Resultat ein bisschen vereinfachen, z.B. das 5-fache bilden (das ja in dieselbe Richtung zeigt) und erhalten den Vektor (3 + Ö5, 4 + 2Ö5).
Überprüfen Sie das Ergebnis (so genau es geht) anhand einer Zeichnung!

c    a |a|

(32)

Aufgabe: Von einem Trapez (d.h. einem Viereck, in dem zwei Seiten zueinander parallel sind) sind, gemäß der nebenstehenden Skizze, die Punkte A, B, C und die Seitenlänge c gegeben. Gesucht ist der Punkt D. Man löse das Problem allgemein (d.h. durch eine Formel).
Lösung: Die Seiten AB und CD sollen zueinander parallel sein. Der Vektor von C nach D ist also parallel zu jenem von B nach A, zeigt auch in dieselbe Richtung, hat aber (möglicherweise) nicht den gleichen Betrag. Wir können ihn aber normieren und den so erhaltenen Einheitsvektor mit c multiplizieren - daraus ergibt sich dann der Verbindungsvektor von C nach D. Klicken Sie hier, um zwei für die Berechnung relevante Vektoren anzuzeigen. Führen Sie die Details der Argumentation selbst durch!
Die Lösung ist: D = C + c(A - B)/|A - B|.

• Das so genannte Skalarprodukt, das es erlaubt, Winkelbeziehungen zwischen Vektoren zu analysieren und auf bequeme Weise zu entscheiden, ob zwei Vektoren aufeinander normal stehen.
   
• Das so genannte Vektorprodukt für räumliche Vektoren, das mit dem Volumsinhalt und mit den Begriffen "links" und "rechts" zusammenhängt.

• Im Kapitel über mathematische Strukturen und Räume, das erklärt, wieso die Mathematik unentwegt an der Formalisierung und Verallgemeinerung des bisher Erreichten interessiert ist,
   
• und in einem Kapitel über die lineare Algebra, dem Gebiete der Mathematik, das der allgemeinen Theorie der "Vektorräume" und der sie beherbergenden Strukturen gewidmet ist. Im Rahmen dieser Theorie bekommt der Begriff linear, der in vielen Zusammenhängen verwendet wird, eine sehr allgemeine Bedeutung.

• Matrizen sind "rechteckige" Zahlenanordnungen (verallgemeinern in diesem Sinn den Begriff des Vektors als "Liste von Zahlen") und sind unter anderem beim Lösen von Gleichungssystemen behilflich.
   
• Geometrische Objekte, die mit Vektoren verwandt sind und in der Physik (z.B. in der Relativitätstheorie) eine wichtige Rolle spielen, sind die Tensoren.
   
• Schließlich werden in einem späteren Kapitel "Vektorfelder", die insbesondere für die moderne Physik wichtig sind, besprochen.

• Insgesamt drei Kapiteln sind der analytischen Geometrie gewidmet. Die Bezeichnung "analytisch" bezieht sich darauf, dass geometrische Sachverhalte durch das Mittel der Berechnung analysiert und Probleme gelöst werden. Genau dabei stellen Vektoren eine unschätzbare Hilfe dar.
   
• Vektoren helfen bei der Frage, welche Lösungen Gleichungssysteme haben können, und beim praktischen Auffinden dieser Lösungen.
   
• Die komplexen Zahlen (ein formales Zahlensystem, innerhalb dessen es möglich ist, die Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen) können als zweikomponentige Vektoren dargestellt werden.
   
• Zahlreiche anspruchsvolle Gebiete der höheren Mathematik, wie etwa jenes der Differentialgleichungen, greifen auf sie zurück.