R


Jeder mit einem Begriff verbundene (fettgedruckte) Hyperlink führt in ein Kapitel der Mathematischen Hintergründe. Grün geschriebene Begriffe haben noch keine Eintragung.
 
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  R  
R2
ist die Menge aller Paare (x, y) aus reellen Zahlen. Sie stellt eine mathematische Formalisierung der Zeichenebene dar. Jedes Element des R2 entspricht einem Punkt, wenn die beiden Eintragungen x und y als Koordinaten bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems interpretiert werden. Das Symbol R2 steht für das kartesische Produkt der Menge R der reellen Zahlen mit sich selbst, R × R.
Die natürliche Verallgemeinerung dieser Idee auf höhere Dimensionen führt zum R3 (der Menge aller reellen Zahlentripel) als Formalisierung des dreidimensionalen Raumes und, ganz allgemein, zum Rn, der Menge aller reellen "n-Tupel".
 
Radiant
Siehe Bogenmaß.
 
Radiokarbonmethode
ist ein Verfahren zur Altersbestimmung mit Hilfe des Kohlenstoffisotops C14, das mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren zerfällt (siehe exponentielle Abnahme). t Jahre nach dem Tod eines Organismus ist die Zahl der in ihm enthaltenen C14-(Atom)Kerne um den Faktor 2-t/5730 gesunken. Beträgt dieser Faktor (der durch chemisch-physikalische Untersuchung eines Funstücks ermittelt wird) beispielsweise in einem konkreten Fall 0.3, so ist muss eine Exponentialgleichung gelöst werden, um das Alter als t = -5730 × 2log 0.3 » 9328 Jahre zu bestimmen.
 
Radiusvektor
ist eine Bezeichnung für den Ortsvektor eines "allgemeinen" Punktes, d.h. eine Zusammenfassung mehrerer Variablen. So ist er beispielsweise in der Ebene durch x = (x, y) gegeben.
 
Rationale Funktion
ist eine Funktion, die als Quotient zweier Polynomfunktionen darstellbar ist. Nachdem so viel wie möglich gekürzt wurde (und allfällige Definitionslücken verschwunden sind), kann eine rationale Funktion in der Form f(x)  =  p(x)/q(x) geschrieben werden, wobei die beiden Polynome p und q keine gemeinsamen Nullstellen besitzen, also nicht mehr weiter gekürzt werden können. Ist der Nenner q von mindestens erster Ordnung, so wird f auch gebrochen rationale Funktion genannt (ansonsten handelt es sich einfach um ein Polynom).
Rationale Funktionen können neben Nullstellen auch Pole und Asymptoten besitzen, und deren Ermittlung zählt zu den besonders häufig gestellten Mathematik-Aufgaben. Siehe auch Asymptoten einer rationalen Funktion.
Unter einer rationalen Kombination einer Menge von Funktionen wird das Bilden einer Funktion verstanden, die aus den gegebenen (unter Hinzunahme beliebiger reeller Zahlen) durch die Grundrechnungsarten (inklusive Division, aber ohne Wurzelziehen) hervorgeht. In diesem Sinn ist jede rationale Funktion eine rationale Kombination der identischen Funktion.
 
Rationale Zahlen
sind jene reellen Zahlen, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben lassen. Daher werden sie oft auch als Bruchzahlen bezeichnet: Jede rationale Zahl ist von der Form m/n, wobei m und n ganze Zahlen sind.
Es lässt sich zeigen, daß die rationalen Zahlen genau jene reellen Zahlen sind, deren Dezimaldarstellung abbricht (d.h. von einer bestimmten Stelle an nur Nullen aufweist) oder periodisch ist (d.h. von einer bestimmten Stelle an aus einer immer wiederholten Zifferngruppe besteht).
Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet.
Es gibt sehr viele rationale Zahlen: Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen (d.h. Punkten auf der Zahlengeraden) liegen unendlich viele rationale Zahlen. Daher wird die Menge Q als ''dicht'' bezeichnet. Dennoch gibt es sehr viel mehr reelle Zahlen als rationale: Die Menge Q ist abzählbar, d.h. ihre Elemente können ''durchnumeriert'' werden, im Gegensatz zur Menge R der reellen Zahlen. Da die Menge Q die Zahlengerade nicht ''ganz ausfüllt'', wird sie als ''nicht-vollständig'' bezeichnet.
 
Rechenschieber
Siehe Logarithmus.
 
Rechenstab
Siehe Logarithmus.
 
Rechte-Hand-Regel
Siehe Vektorprodukt.
 
Rechtsgekrümmt
Eine differenzierbare Funktion f heißt in einem Intervall rechtsgekrümmt, wenn ihre Ableitung f ' in ihm streng monoton fallend ist. (Siehe auch linksgekrümmt). Damit ergibt sich ein einfaches Kriterium zur praktischen Berechnung: Ist für alle x in einem Intervall f ''(x) < 0, so ist f in diesem Intervall rechtsgekrümmt. (Siehe auch Monotonie und Ableitung). Eine rechtsgekrümmte Funktion ist konkav (nach unten offen). Zeigt eine Funktion in zwei aneinander grenzenden Intervallen verschiedenes Krümmungsverhalten, so liegt zwischen dieser Intervallen eine Wendestelle.
 
rechtshändig
Siehe Rechtssystem.
 
Rechtsschraubenregel
Siehe Vektorprodukt.
 
Rechtsseitige Ableitung
einer reellen Funktion f an der Stelle x ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, wobei die Annäherung an die Stelle x von "rechts" (d.h. von "oben") her erfolgt. Ist x eine Randstelle des Definitionsbereichs, so kann nicht von der Ableitung im strengen Sinn, sondern nur von der rechts- oder linksseitigen Ableitung gesprochen werden. Für eine differenzierbare Funktion stimmen rechts- und linksseitige Ableitung überein.
 
Rechtssystem
oder rechtshändiges System ist ein System aus drei dreikomponentigen (räumlichen) Vektoren a, b und c (in dieser Reihenfolge) mit der Eigenschaft, dass aÙb und c einen spitzen Winkel bilden. Das ist genau dann der Fall, wenn das Spatprodukt des Systems positiv ist.
Ein Beispiel ist die dreidimensionale Standardbasis. Ganz allgemein bilden a, b und aÙb ein Rechtssystem, sofern a und b nicht parallel sind.
Siehe auch Händigkeit.
 
Regel von de l'Hospital
Diese Regel hilft, Grenzwerte unbestimmter Formen zu berechnen. Besitzen die stetig differenzierbaren Funktionen f und g eine gemeinsame Nullstelle oder eine gemeinsame Unendlichkeitsstelle x0, so gilt

      f(x) 
g(x) 		    =          f '(x) 
g'(x) 		  , 
lim lim
x ® x0 x ® x0

wobei lediglich vorausgesetzt ist, dass der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.

Beispiel 1: limx ® 0 ( sin x)/x = limx ® 0 ( cos x)/1 = 1.
Beispiel 2: limx ® 0 ( ex - 1)/x = limx ® 0 ex/1 = 1.
Damit können auch Näherungsformeln hergeleitet und Wachstumsvergleiche von Funktionen durchgeführt werden. Die Stelle x0 darf durch ¥ oder -¥ ersetzt werden.
 
Reelle Funktion
nennt man eine Funktion, deren Definitionsbereich und Wertebereich die Menge R oder Teilmengen von R sind.
 
Reelle Zahlen
sind Dezimalzahlen mit beliebiger Dezimaldarstellung. Diese Zahlen bilden einen der Grundpfeiler der modernen Mathematik. Auch die meisten der im Unterrichtsstoff auftretenden Zahlen sind von diesem Typ, und die Lösung vieler Problemstellungen muß ihre Eigenschaften berücksichtigen.
Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller positiven reellen Zahlen mit R+, die Menge aller nicht-negativen reellen Zahlen mit R0+ und die Menge aller von Null verschiedenen reellen Zahlen mit R* .
Auf der Menge der reellen Zahlen sind die Operationen Addition und Multiplikation definiert, aus denen sich Subtraktion und Division ergeben (siehe auch Kehrwert und Division durch 0). Addition und Multiplikation sind durch das Distributivgesetz (Klammern auflösen) miteinander verbunden.
Geometrisch werden reelle Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden gedeutet. Zusammenhängende Teilmengen von R, d.h. der Zahlengerade, heißen Intervalle. Die Menge R wird von MathematikerInnen als vollständig bezeichnet, da sie (im Gegensatz zu der Menge der rationalen Zahlen) die Zahlengerade "ganz ausfüllt".
Die Menge R ist so groß, daß ihre Elemente nicht ''durchnumeriert'' werden können. Daher heißt sie überabzählbar. (Ein leicht verständlicher Beweis dieser Tatsache ist das Cantor'sche Diagonalverfahren).
Eine immer wiederkehrende wichtige Eigenschaft von R ist, daß das Quadrat jeder reellen Zahl nicht-negativ ist. Daher besitzen Quadratische Gleichungen (und auch Gleichungen höherer Ordnung) über R nicht immer Lösungen (wie z.B. die Gleichung x2 = - 1). Eine wichtige Zahlenmenge, die die reellen Zahlen verallgemeinert, und in der Quadrate auch negativ sein können, sind die komplexen Zahlen.
In manchen Texten werden die reellen Zahlen nicht von Beginn an als Dezimalzahlen eingeführt, sondern aus der kleineren Menge der rationalen Zahlen konstruiert. Wenn Sie in Lehrbüchern die Begriffe "Intervallschachtelung" und "Dedekind'sche Schnitte" lesen, so dienen sie zumeist diesem Zweck. Wir gehen hier nicht näher darauf ein.
Wichtige Teilmengen von R sind die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen.
 
Relativ prim
Siehe teilerfremd.
 
Rest
Seien n und k zwei natürliche Zahlen. Versucht man, n durch k zu dividieren, so stößt man auf folgende Struktur:
Es gibt immer zwei (eindeutig bestimmte) Zahlen m, r Î N mit 0 £ r < k, sodaß
      n = k m + r.
Die Zahl r heißt Rest. Ist r = 0, so ist der Quotient n/k genau m, also eine natürliche Zahl. Andernfalls ist r gerade der ''Rest'', der Ihnen bei händischer Division ''übrigbleibt''. Das Vorhandensein eines von 0 verschiedenen Rests ist dafür verantwortlich, daß k kein Teiler von n ist (oder, m.a.W., daß n kein Vielfaches von k ist).
Das Konzept des Rests kann auf den Fall ausgedehnt werden, daß n negativ ist. Dann darf auch m negativ sein, doch es ist eine sinnvolle Konvention, vom Rest r nach wie vor 0 £ r < k zu verlangen.
 
Restklassen
Sei p eine natürliche Zahl. Man kann - ohne in Widersprüche zu geraten - beim Addieren und Multiplizieren von ganzen Zahlen jede auftretende Zahl durch den Rest, der sich bei Division durch p ergibt, ersetzen.
Ist etwa p = 3, so wird nicht mehr zwischen 2 und 5 unterschieden! Das kann auch in der Form 5 = 2 mod(3) (gesprochen: ''5 ist gleich 2 modulo 3'') ausgedrückt werden. Unter diesem Gesichtspunkt gibt es nur drei verschiedene Zahlen, nämlich 0, 1 und 2, (denn bereits 3 wird mit 0 identifiziert, 4 mit 1 usw). Diese drei Objekte heißen Restklassen modulo 3. Tatsächlich steht 0 nicht nur für die Zahl 0, sondern für alle ganzzahligen Vielfachen von 3 (1 steht für alle ganzen Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 1 ergeben, und 2 steht für alle ganzen Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest 2 ergeben). Daher heißen sie ''Klassen''. Die Menge der Restklassen modulo 3 hat also 3 Elemente und wird als Z3 bezeichnet.
Genau dasselbe kann mit jeder natürlichen Zahl p gemacht werden, was zur Menge Zp der Restklassen modulo p führt.
Falls p eine Primzahl ist, kann innerhalb dieser Menge sogar dividiert werden. (Sie hat dann die Struktur eines Körpers).
 
Reziproker Wert
Siehe Kehrwert.
 
Richtungsvektor
ist eine Bezeichnung für einen Vektor, dessen Aufgabe es ist, eine Richtung anzugeben. Der Begriff wird ein bisschen schlampig auch für Verbindungsvektoren verwendet und ist dann als Gegenstück zum Ortsvektor gemeint.
 
Riemann-Integral
Die präzise Ausformulierung der Idee des bestimmten Integrals als Grenzwert von Summen erfolgte historisch zum ersten Mal im 19. Jahrhundert durch Bernhard Riemann. Riemanns Konstruktion besteht darin, eine auf einem Intervall [a, b] gegebene reelle Funktion von unten und von oben durch Treppenfunktionen einzuzwicken. Mit Hilfe deren Integrale, der Untersummen und Obersummen, wird definiert, wann eine Funktion (Riemann-)integrierbar ist. Für stetige Funktionen lässt sich das bestimmte Integral als Grenzwert einer Folge von Rechtecksflächen (den so genannten Riemann-Summen) darstellen. Daraus ergeben sich Möglichkeiten zur numerischen Approximation bestimmter Integrale. Riemann-Summen können auch dazu benutzt werden, um intuitive Argumentationen mit infinitesimalen Größen durch exakte zu ersetzen.
 
Riemann-Summe
Siehe Riemann-Integral.
 
round
ist die Bezeichnung für das "kaufmännische" Rundungsverfahren: round x ist diejenige ganze Zahl, die x am nächsten liegt, wobei halbzahlige Werte zwischen zwei ganzen Zahlen aufgerundet werden.
 
Rundungsverfahren
stellen unstetige Funktionen dar. Die gebräuchlichsten sind: round (kaufmännisch runden), floor (immer abrunden) und ceil (immer aufrunden).

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