G


Jeder mit einem Begriff verbundene (fettgedruckte) Hyperlink führt in ein Kapitel der Mathematischen Hintergründe. Grün geschriebene Begriffe haben noch keine Eintragung.
 
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Ganze Zahlen
sind jene reellen Zahlen, deren Dezimaldarstellung nach dem Komma abbricht (d.h. nur Nullen enthält): ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... Auf der Zahlengeraden bilden sie eine Abfolge von Punkten im Abstand 1, von 0 aus nach rechts und links gehend.
Die Menge aller ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet.
 
Ganzrationale Funktion
bedeutet dasselbe wie Polynomfunktion.
 
Gauß-Funktion
ist eine im Unendlichen verschwindende Funktion der Form exp(Q), wobei Q ein quadratischer Ausdruck (in einer oder mehreren Variablen) ist. Die allgemeinste Gauß-Funktion in einer Variablen x ist (unter Weglassung einer irrelevanten additiven Konstante im Exponenten) von der Form exp(-ax2 + xb) für a > 0. Uneigentliche Integrale über Gauß-Funktionen heißen Gaußsche Integrale.
 
Gaußsches Integral
wird ein uneigentliches Integral über eine Gauß-Funktion genannt. Einer der Tricks bei der Berechnung Gaußscher Integrale ist die Methode der Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat.
 
Gebrochen rationale Funktion
wird eine rationale Funktion genannt, deren Nenner (nachdem so viel wie möglich gekürzt wurde und keine Definitionslücken vorliegen) von mindestens erster Ordnung ist. Gebrochen rationale Funktionen sind jene rationalen Funktionen, die ein "echtes Polynom" als Nenner besitzen. Alle rationalen, aber nicht gebrochen rationalen Funktionen sind Polynomfunktionen.
 
Geordnetes Paar
Seien A und B zwei Mengen. Ein geordnetes Paar von Elementen dieser beiden Mengen besteht in der Angabe eines Elements a Î A und eines Elements b Î B. Das Paar wird wird als
(a, b)
angeschrieben und als ein mathematisches Objekt behandelt. Analog können geordnete Tripel (a, b, c) und höhere n-Tupel ( a1, a2,... an ) betrachtet werden.
Siehe auch Zahlenpaare, Zahlentripel und n-Tupel.
 
Gerade Funktion
ist eine andere Bezeichnung für symmetrische Funktion.
 
Geradlinige Koordinaten
beruhen auf Koordinaten-Achsen, um die Position von Punkten in der Zeichenebene oder im Raum in Form von Zahlen anzugeben.
Meistens wird ein kartesisches (rechtwinkeliges) Koordinatensystem verwendet, d.h. eines, dessen Achsen aufeinander normal stehen.
Es sind aber auch Koordinatensysteme möglich, bei denen die Achsen unter einem beliebigen Winkel zueinander stehen. (Sie dürfen nur nicht zueinander parallel sein). Man spricht dann von schiefwinkeligen Koordinaten.
Neben geradlinigen werden auch krummlinige Koordinaten verwendet, und für diese macht der Begriff der Koordinaten-Achsen keinen Sinn.
Siehe auch Koordinatensystem.
 
Gleichmächtig
heißen zwei Mengen A und B mit der Eigenschaft, daß für jedes Element von A genau ein Element von B ''Partner'' erklärt werden kann, sodaß kein Element von B ohne ''Partner'' bleibt.
Eine kompaktere Definition dieses Begriffs ist: Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Funktion  f : A ® B gibt.
Gleichmächtige Mengen werden auch isomorph genannt, wenngleich dieser Begriff noch andere Bedeutungen hat. Symbolisch wird für gleichmächtige Mengen manchmal A @ B geschrieben.
Zwei endliche Mengen sind gleichmächtig, wenn sie gleich viele Elemente besitzen. Für unendliche Mengen liegt hier ein akzeptabler Begriff vor, der die Alltagsvorstellung von ''gleich viele'' ersetzt.
Nicht alle unendlichen Mengen sind gleichmächtig. In diesem Sinn können auch unendliche Mengen ''verschieden groß'' sein. Insbesondere sind die Mengen der natürlichen und der reellen Zahlen nicht gleichmächtig sind.
Siehe auch abzählbar, überabzählbar und Potenzmenge.
 
Gleichung
Eine Gleichung ist eine "Behauptung", daß zwei Terme gleich sind, wobei die beiden Terme von einer oder mehreren Variablen (Unbekannten) abhängen. Weiters muß eine Menge vom Variablenwerten gegeben sein, die sogenannte Grundmenge.
Jene Werte der Variablen, die in der Grundmenge liegen und für die die "Behauptung" eine wahre Aussage ist, heißen Lösungen. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge. Sie kann für einfache Gleichungen durch die systematische Anwendung von Äquivalenzumformungen ermittelt werden.
Es kann vorkommen, daß die "Behauptung" für manche Elemente der Grundmenge keinen Sinn macht (z.B. wenn durch Null dividiert werden müsste). Werden diese Elemente aus der Grundmenge entfernt, so entsteht die Definitionsmenge.
Beispiel:    x2 + 3 = 7    hat zwei Lösungen, nämlich x = - 2 und x = 2.
Beispiel:    x + y = 1    hat viele Lösungen, z.B. x = 1, y = 0 oder x = y = 1/2.
Gleichungen in einer Variablen werden meistens dazu benützt, um Zahlen zu finden, von denen eine bestimmte Eigenschaft bekannt ist. Gleichungen in zwei Variablen werden oft benützt, um ebene Kurven zu beschreiben, während Gleichungen in drei Variablen dazu dienen, Flächen im Raum zu beschreiben.
Für ''EinsteigerInnen'' steht ein kleiner    "Gleichungen - ein erster Überblick" zur Verfügung.
Kritische Nachbemerkung: Da der Begriff des Terms ein bißchen unscharf ist, ist eine mathematisch präzisere Charakterisierung folgende: Eine Gleichung ist eine "Behauptung" der Form Links(x) = Rechts(x), wobei Links und Rechts Funktionen sind. Das Problem, eine Gleichung zu lösen, ist dann gleichbedeutend damit, die Nullstellen einer Funktion (nämlich f = Links - Rechts) zu finden.
Siehe auch numerisches Lösen einer Gleichung.
 
Gleichung dritter Ordnung
bedeutet dasselbe wie kubische Gleichung.
 
Gleichung erster Ordnung
bedeutet dasselbe wie lineare Gleichung.
 
Gleichungen numerisch lösen
Siehe numerisches Lösen einer Gleichung.
 
Gleichung zweiter Ordnung
bedeutet dasselbe wie quadratische Gleichung.
 
Globales Extremum
Siehe Extremum, globales.
 
Globales Maximum
Siehe Maximum, globales.
 
Globales Minimum
Siehe Minimum, globales.
 
Gon
Winkel-Einheit im Neugrad-System: voller Winkel  = 400 gon º 400g, rechter Winkel = 100 gon º 100g.
 
Grad eines Polynoms, einer Gleichung, einer Funktion
Die Bezeichnung Grad wird vielfach gleichbedeutend mit Ordnung verwendet. Siehe Ordnung eines Polynoms, einer Gleichung, einer Funktion.
 
Gradmaß
In diesem Winkelmaß wird der volle Winkel in 360° ("Grad") unterteilt. Manchmal ist es sinnvoll, Winkelangaben kleiner als 0° und größer als 360° zuzulassen. So werden etwa -90°, 270° und 630° als ein und derselbe Winkel betrachtet. Da die Einteilung des vollen Kreises in 360° recht willkürlich ist, wird in der Mathematik statt dessen oft das (als natürlicher angesehene) Bogenmaß verwendet.
 
Graph einer Funktion
Siehe Funktionsgraph.
 
Graphisches Lösen einer Gleichung
Siehe numerisches Lösen einer Gleichung.
 
Grenzwert einer unbestimmten Form
Siehe unbestimmte Form und Regel von de l'Hospital.
 
Größer, größer-gleich
Siehe Ordnung der reellen Zahlen.
 
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Zwei oder mehrerere natürliche Zahlen können gemeinsame Teiler besitzen. Um den größten dieser Teiler zu ermitteln, wird die Primfaktorzerlegung benützt.
Beispiel: Der ggT der Zahlen 36 und 120.
Primzahlzerlegung der beiden Zahlen: 36 = 22 ×32, 120 = 23 × 3 × 5.
Der ggT ist 22 × 3 = 12 (es muß immer die kleinere Hochzahl genommen werden. Dabei sind die Primfaktoren 3 und 5 als 31 und 51 und das Fehlen des Primfaktors 5 in 36 als 50 zu interpretieren).
Der ggT spielt beim Bruchrechnen eine Rolle.
 
Große Lösungsformel
Eine quadratische Gleichung, die in der Form a x2 + b x + c = 0 (wobei a ¹ 0) gegeben ist, hat die Lösungs-Kandidaten
x1,2    =    
- b ±   ________
Ö b2 - 4 a c
 
2 a  
   .

Im Rahmen der reellen Zahlen existieren diese Ausdrücke nicht immer: Je nachdem, ob die unter dem Wurzelzeichen stehende Zahl  b2 - 4 a c  negativ, 0 oder positiv ist, hat die Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen.
Im Rahmen der komplexen Zahlen existieren beide Größen immer: Ist  b2 - 4 a c ¹ 0, so existieren zwei verschiedene Lösungen, ansonsten nur eine einzige.
Die große ergibt sich aus der kleinen Lösungsformel, indem p = b/a und q = c/a gesetzt wird.
 

Grundmenge
Menge von Werten der Variablen einer Gleichung, in der Lösungen gesucht werden. Wird üblicherweise mit G bezeichnet.
Da die Mathematik verschiedene Zahlenmengen kennt, stellt eine Gleichung nur dann ein wohldefiniertes mathematisches Problem dar, wenn festgelegt ist, aus welcher dieser Mengen Lösungen akzeptiert werden. So ist man manchmal nur an natürlichen Zahlen als Lösungen interessiert (z.B. wenn die Variable eine Stückzahl bedeutet), ein anderes Mal nur an ganzzahligen Lösungen, in einer weiteren Fragestellung nur an reellen positiven Lösungen oder an reellen Lösungen usw. Diese Fälle entsprechen G = N, G = Z, G = R+ und G = R.
Wird zu einer Gleichung keine Grundmenge angegeben, so wird üblicherweise angenommen, daß sie gleich der Menge der reellen Zahlen ist (d.h. G = R).
 
Grundrechnungsarten
sind die Addition, die Subtraktion die Multiplikation und die Division.

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