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Jeder mit einem Begriff verbundene (fettgedruckte) Hyperlink führt in ein Kapitel der Mathematischen Hintergründe. Grün geschriebene Begriffe haben noch keine Eintragung.
 
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Sattelpunkt
Hat die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f º f(x) innerhalb eines Intervalls für x < x0 das gleiche Vorzeichen wie für x > x0, und gilt f '(x0) = 0, so heißt x0 Sattelstelle. Der entsprechende Punkt (x0, f(x0) am Graphen heißt Sattelpunkt. Eine Sattelstelle ist eine Wendestelle, aber kein lokales Extremum.
Beispiel: Die Funktion x ® x3 hat bei x0 = 0 eine Sattelstelle.
 
Sattelstelle
Siehe Sattelpunkt.
 
Schaft eines Vektor-Pfeils
Siehe Pfeildarstellung.
 
Schar von Funktionen
ist eine andere Bezeichnung für eine Familie von Funktionen.
 
Schiefwinkelige Koordinaten
sind ähnlich definiert wie kartesische Koordinaten, nur stehen die Achsen nicht aufeinander normal, und auf jeder Achse darf eine beliebige Länge zur Einheit erklärt werden. Ist etwa in der Zeichenebene ein schiefwinkeliges Koordinatensystem gegeben (und heißen die Koordinaten u und v), so kann ein Punkt P mit Koordinatenwerten u = 3 und v = 5 vom Ursprung aus erreicht werden, indem zuerst entlang der u-Achse um 3 Einheiten (in die positive u-Richtung), und dann parallel zur v-Achse um 5 Einheiten (in die positive v-Richtung) gegangen wird. Bei negativen Koordinatenwerten muß in die entsprechende negative Richtung gegangen werden. Derselbe Punkt P kann auch erreicht werden, indem zuerst entlang der v-Achse und dann parallel zur u-Achse vorgerückt wird. Dadurch entsteht ein Parallelogramm, das auf zwei Seiten durch die Achsen, auf zwei Seiten durch die Koordinatenlinien durch P begrenzt wird.
Die Idee schiefwinkeliger Koordinaten kann ohne Weiteres auf den dreidimensionalen Raum - auch auf höherdimensionale Räume - verallgemeinert werden.
Neben schiefwinkeligen werden auch andere Koordinatensysteme verwendet.
 
Schranke einer Funktion
Siehe beschränkt.
 
Schwerpunkt
Sind A1, A2, ... An endlich viele Punkte (in der Ebene oder im Raum), so wird ihr Schwerpunkt S durch S = (A1 + A2 + ... + An)/n definiert. Ein Speziallfall (für n = 2) ist der Halbierungspunkt einer Strecke.
 
Secans
ist eine selten verwendete Winkelfunktion: sec a = 1/cos a.
 
Sehnenfunktion
abgekürzt chord, ist die älteste Winkelfunktion: chord a = 2 sin(a/2). Sie wurde im zweiten vorchristlichen Jahrhundert von Hipparchos von Nicäa tabelliert.
 
Sekante
ist eine Gerade in der Zeichenebene, die eine Kurve in zwei Punkten schneidet, also gewissermaßen eine Sehne bildet. Falls die beiden Punkte immer näher zusammen rutschen und die Kurve "schön genug" ist (keinen Knick hat), geht die Sekante in eine Tangente über. Diese Idee liegt der Berechnung der Ableitung zu Grunde.
 
Selbstähnlichkeit
ist ein Phänomen, das beispielsweise beim Graphen mancher nirgends differenzierbaren Funktion auftritt: Seine Feinstruktur findet sich in verkleinerter Form näherungsweise in ihm selbst wieder. Dies verhindert (im Gegensatz zu Graphen differenzierbarer Funktionen) die Existenz von Tangenten. Eine solche Punktmenge wird auch Fraktal genannt.
 
Semiversus
ist eine selten verwendete Winkelfunktion: sem a = sin2(a/2).
 
Sieb des Eratosthenes
heißt eine systematische Methode, Listen von Primzahlen zu konstruieren. Dabei werden aus einer Liste von natürlichen Zahlen, beginnend mit 2, systematisch alle Vielfache gestrichen und die Primzahlen gewissenmaßen ''ausgesiebt''.
 
Signumfunktion
oder Vorzeichenfunktion ist jene unstetige Funktion sgn : R ® R, die durch sgn x = -1 für x < 0, sgn 0 = 0 und sgn x = 1 für x > 0 definiert ist.
 
Singularität
einer reellen (oder komplexen) Funktion f wird eine Stelle genannt, an der f nicht wohldefiniert ist, etwa weil es sich um eine Definitionslücke oder um eine Unendlichkeitsstelle handelt. Es gibt aber auch andere Formen von Singularitäten, wie beispielsweise die Stelle x = 0 der Funktion sin(1/x).
 
Sinus
Eine der vier wichtigsten Winkelfunktionen. Der Sinus eines Winkels a, geschrieben sin a oder sin(a), ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis "Gegenkathete/Hypothenuse". Die Sinusfunktion ist periodisch mit (kleinster) Periode 2p. Siehe auch Winkelfunktionen für spezielle und für kleine Winkel, sowie Summensätze für Winkelfunktionen.
Steckbrief der   .
 
Sinus, Ableitung
Die Ableitung des Sinus entnehmen Sie Tabelle.
 
Sinus Hyperbolicus
ist die als sinh x = (ex - e-x)/2 definierte Hyperbelfunktion.
 
Sinus Hyperbolicus, Ableitung
Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus entnehmen Sie Tabelle.
 
Skalar
Im Gegensatz zu Vektoren als "gerichteten Größen" werden in der Vektorrechnung Zahlen als "ungerichtete Größen" oder Skalare bezeichnet.
 
Skalarprodukt
ist eine Rechenoperation, die aus zwei Vektoren (gleichen Typs, d.h. mit gleich vielen Komponenten) einen Skalar, d.h. eine Zahl macht. Für zweikomponentige Vektoren a = (a1, a2) und b = (b1, b2) wird es mit Hilfe der Formel ab = a1b1 + a2b2 berechnet, für dreikomponentige Vektoren a = (a1, a2, a3) und b = (b1, b2, b3) gilt ab = a1b1 + a2b2 + a3b3, und in höheren Dimesionen kommen noch entsprechende Terme dazu. Geometrisch interpretiert, ist es das Produkt aus dem Betrag des einen Vektors mit der orientierten Projektion des anderen Vektors in die Richtung des ersten. Daraus ergibt sich ab = |a| |b| cosq, wobei q der von a und b eingeschlossene Winkel ist. Daher gibt das Skalarprodukt über die relativen Richtungen zweier Vektoren Auskunft:
  • Es gilt ab > 0 genau dann, wenn a und b einen spitzen Winkel einschließen.
  • Es gilt ab < 0 genau dann, wenn a und b einen stumpfen Winkel einschließen.
  • Es gilt ab = 0 genau dann, wenn a und b aufeinander normal stehen.
Insbesondere die letzte Eigenschaft macht das Skalarprodukt zu einer wichtigen mathematischen Struktur.
 
Spatprodukt
Sind a, b und c drei dreikomponentige (räumliche) Vektoren, so heißt die Zahl (aÙb)c ihr Spatprodukt, wobei das Symbol Ù das Vektorprodukt bezeichnet. Der Absolutbetrag des Spatprodukts ist gleich dem Volumsinhalt des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds, sein Vorzeichen hängt von ihrer Reihenfolge (Händigkeit) ab (plus für ein Rechts-, minus für ein Linkssystem).
Das Spatprodukt ist genau dann 0, wenn die drei Vektoren linear abhängig (d.h. koplanar) sind.
 
Spezielle Winkel
Siehe Winkelfunktionen für spezielle Winkel.
 
Spitze eines Vektor-Pfeils
Siehe Pfeildarstellung.
 
Spitze-minus-Schaft-Regel
ist eine Merkregel zur geometrischen Bedeutung der Differenz zweier Vektoren in der Pfeildarstellung. Werden die Pfeile, die den Vektoren a und b entsprechen, mit ihrem Schaft in einen Punkt gehängt, so ist die Differenz a - b der Verbindungsvektor der Spitzen, und zwar so, dass der erste Vektor (a) die Spitze und der zweite (b) den Schaft der Differenz bildet. Als Spezialfall dieser Regel ergibt sich, dass der Verbindungsvektor von P nach Q durch die Differenz Q - P der Ortsvektoren gegeben ist. (Beachten Sie die Reihenfolge!)
 
Sprungfunktion
ist ein anderer Name für die Theta-Funktion.
 
Sprungstelle
Siehe unstetig.
 
Stammfunktion
Ist f eine reelle Funktion, so heißt F Stammfunktion (oder unbestimmtes Integral) von f, wenn f die Ableitung von F ist, d.h. wenn F '(x) = f(x) für alle x im Definitionsbereich von f.
Sind F und G zwei Stammfunktionen von f, so ist ihre Differenz eine Konstante. Die Stammfunktion von f ist daher (genau) bis auf eine Konstante bestimmt: Ist F irgend eine Stammfunktion, so hat jede Stammfunktion von f die Form F(x) + c. Für die Stammfunktion von f hat sich die Schreibweise òf(x)dx (ausgesprochen: "Integral von f(x)" oder "Integral f(x)dx") eingebürgert.
Beispiel: Da (x3) ' = 3x2 gilt, ist x3 eine Stammfunktion von 3x2. Die Aussage, dass die allgemeine Stammfunktion von 3x2 von der Form x3 + c ist, wird abgekürzt als ò3x2dx = x3 + c geschrieben.
Die Konstante c heißt Integrationskonstante und wird manchmal der Einfachheit halber weggelassen (sollte aber dann zumindest dazugedacht werden). Der Ausdruck zwischen dem Integralzeichen ò und dem Symbol dx heißt Integrand. Man sagt auch, eine Funktion wird "nach x" integriert, um die Integrationsvariable (die natürlich nicht immer x heißen muss) zu benennen.
Die Stammfunktion einer gegebenen Funktion f zu finden, ist nicht immer leicht. Eine Reihe von Integrationsregeln steht zur Verfügung, uns dabei zu helfen. Bekannte Stammfunktionen sind in Integrationstabellen (Integraltafeln) aufgelistet. Hier eine kleine Auswahl:


Grundsätzlich besitzt jede stetige Funktion eine Stammfunktion. Manchmal kann diese aber nicht in elementarer Form dargestellt werden. (Die gegebene Funktion heißt dann nicht geschlossen integrierbar).
Stammfunktionen werden dazu benutzt, um bestimmte Integrale zu berechnen. Mit diesen sind sie über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbunden.
 
Standardbasis
oder Koordinatenbasis ist das System jener Einheitsvektoren, die in die Richtungen der Koordinatenachsen zeigen. In der Ebene existieren zwei solcher Basisvektoren (bezeichnet als e1 und e2), im dreidimensionalen Raum gibt es drei. Jeder Vektor kann als Linearkombination der Standardbasis geschrieben werden, wobei seine Komponenten in dieser Schreibweise als Koeffizienten auftreten. Beispiel: (3, -2) = 3e1 - 2e2.
 
Stetig
heißt eine reelle Funktion, wenn kleine Änderungen des Arguments kleine Änderungen des Funktionswerts zur Folge haben. Der Graph einer stetigen Funktion ist eine zusammenhängende Kurve, (die sozusagen mit dem Bleistift nachgezogen werden kann, ohne ihn abzusetzen). Ist eine Funktion in mehreren Intervallen definiert (wie z.B. 1/x, was ja für x = 0 nicht existiert), so macht der Begriff der Stetigkeit nur in Bezug auf jeden einzelnen dieser Bereiche Sinn. (Für 1/x sind das die beiden Intervalle x < 0 und x > 0). Er kann auch auf Funktionen in mehreren Variablen und Funktionen, die auf der Menge der komplexen Zahlen definiert sind, verallgemeinert werden.
Siehe auch unstetig.
 
Stetig differenzierbar
Aus der exakten Formulierung der Differenzierbarkeit folgt, dass die Ableitung einer differenzierbaren Funktion nicht unbedingt stetig sein muss. Eine Funktion, deren Ableitung stetig ist, wird stetig differenzierbar genannt.
 
Streckenteilung
Soll die Verbindungsstrecke zweier Punkte A und B (in der Ebene oder im Raum) in einem gegebenen Verhältnis geteilt werden, so ist der Ortsvektor des Teilungspunkts T als Linearkombination der Ortsvektoren A und B zu ermitteln. Liegt T zwar auf der Verbindungsgeraden, aber außerhalb der Verbindungsstrecke, so heißt er äußerer Teilungspunkt.
Ein Spezialfall der Streckenteilung ist der Halbierungspunkt einer Strecke.
 
Streng monoton fallend
heißt eine reelle Funktion, wenn der Funktionswert mit größer werdendem Argument kleiner wird, d.h. wenn aus  x1 < x2  folgt, daß  f (x1) > f (x2)  ist. Der Graph einer solchen Funktion "fällt" mit wachsendem x "nach unten" ab.
 
Streng monoton steigend
bedeutet dasselbe wie streng monoton wachsend.
 
Streng monoton wachsend
heißt eine reelle Funktion, wenn der Funktionswert mit größer werdendem Argument größer wird, d.h. wenn aus  x1 < x2  folgt, daß  f (x1) < f (x2)  Der Graph einer solchen Funktion "steigt" mit wachsendem x "nach oben" an.
 
Stückweise stetig
(auch abschnittsweise stetig) heißt eine reelle Funktion, die an voneinander isolierten Stellen unstetig, dazwischen aber stetig ist. Beispiele sind die Treppenfunktionen.
 
Substitutionsmethode (beim Integrieren)
auch Variablensubstitution oder Variablentransformation genannt, ist eine Integrationsmethode, die darauf beruht, die Integrationsvariable (wir nennen sie x) als Funktion einer weiteren Größe u aufzufassen, was wir als x º x(u) schreiben. Weiters verlangen wir, dass die dadurch definierte Funktion differenzierbar und bijektiv ist. Für unbestimmte Integrale (Stammfunktionen) gilt òf(x)dx  =  òf(x(u))x'(u)du, wobei auf der rechten Seite nach der Berechnung u wieder durch x auszudrücken ist. Für bestimmte Integrale nimmt diese Regel die Form òabf(x)dx  =  òvwf(x(u))x'(u)du an, wobei a = x(v) und b = x(w) ist. Diese Identitäten stammen von der Kettenregel ab.
Schreiben wir die Ableitung x'(u) als dx/du, so kann die Substitution (="Ersetzung") der Integrationsvariable als Umrechnung dx  =  x'(u) du der Differentiale durchgeführt werden.
 
Summensätze für Winkelfunktionen
auch Additionstheoreme genannt, drücken die Werte der Winkelfunktionen für eine Summe zweier Winkel durch Winkelfunktionen von nur einem Argument aus. Hier die vier wichtigsten   .
 
Surjektiv
heißt eine Funktion  f : A ® B, die jedes Element der Menge B trifft, d.h. deren Wertebereich gleich der ganzen Menge B ist. Eine solche Funktion heißt auch Surjektion.
 
Subtraktion
ist in gewisser Hinsicht die ''Umkehrung'' der Addition. Die Differenz  x - y  ist definiert als die Antwort auf die Frage ''y + wieviel = x?''. Die Subtraktion kann vollständig innerhalb der Mengen der reellen, rationalen, ganzen und komplexen Zahlen ausgeführt werden, führt jedoch aus der Menge der natürlichen Zahlen heraus.
Aufgrund der Identität  x - y = x + (- y)  kann jede Differenz auch als Summe geschrieben werden.
 
Summand, Summe
Siehe Addition.
 
Symmetrieeigenschaften einer Funktion
bezeichnet ihr Verhalten unter einem Vorzeichenwechsel des Arguments. Siehe symmetrische und antisymmetrische Funktionen.
 
Symmetrisch(e Funktion)
auch gerade Funktion, ist eine reelle (oder komplexe) Funktion f, die f(-x)  =  f(x) für alle x in ihrem Definitionsbereich erfüllt. Der Graph einer reellen symmetrischen Funktion ist symmetrisch bezüglich der vertikalen Achse (d.h. er geht unter einer Spiegelung an dieser in sich selbst über). Siehe auch antisymmetrische Funktion.

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