Das Ziel der Modularisierung ist es, für das Projekt mathe online Vorschläge zur weiteren Entwicklung zu machen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt dabei auf der Anwendbarkeit des Stoffes für die berufliche Praxis der Kursteilnehmer, die überwiegend aus Klein- und Mittelbetrieben kommen. Vor diesem Hintergrund scheint es wünschenswert, die folgenden drei Bereiche besonders zu berücksichtigen:
Modul |
Inhalt |
Finanzmathematik |
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Kosten- und Preistheorie |
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Beschreibende Statistik |
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Die Themen "Beschreibende Statistik" und "Wirtschafts- und Finanzmathematik" wurden von den mathe online Autoren schon selbst in die engere Wahl für die weitere Entwicklung miteinbezogen. Dies erscheint auch im Hinblick auf den HAK Lehrplan sinnvoll. Das Kapitel Kosten- und Preistheorie ist im Wesentlichen eine Anwendung der Differentialrechnung und scheint mir daher nicht allzu aufwändig in der Umsetzung.
Für die Zukunft wäre es wünschenswert, die Kapitel "Beurteilende Statistik" (4. Jahrgang) und "Lineare Optimierung" (1. Jahrgang) in mathe online zu implementieren. Die beurteilende Statistik beschäftigt sich mit der Berechnung von Vertrauensintervallen, Intervallbreiten und Sicherheit, dem Umfang der Stichprobe und dem Testen von Hypothesen. Sie ist vor allem für Marketing und Produktprüfung von Interesse und beantwortet Fragen der Art: "Wie viele Personen muss ich befragen, um eine Aussage mit bestimmter Sicherheit (z.B. 95%) treffen zu können?".
In der folgenden Tabelle sind die von den mathe online Autoren vorgeschlagene Module für den nächsten Entwicklungsschritt angeführt.
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mathe online Entwickler |
HAK Priorität |
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Vektoren 1 |
Wirtschafts- und Finanzmathematik |
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Beschreibende Statistik |
Beschreibende Statistik |
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Gleichungssysteme |
Kosten- und Preistheorie |
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Analytische Geometrie 1 |
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Potenzen |
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Winkelfunktionen |
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Exponentialfunktion und Logarithmus |
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Funktionen 2 |
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Wirtschafts- und Finanzmathematik |
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Differenzieren 1 |
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1 |
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Integrieren |
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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 2 |
Die Kosten- und Preistheorie beschäftigt sich einerseits mit dem Auffinden der sogenannten Kostenfunktion und andererseits den Möglichkeiten, bei gegebener Kostenfunktion das Betriebsoptimum, das Betriebsminimum, die Grenzkosten sowie Erlös- und Erfolgsfunktion zu berechnen.
Die Kosten- und Preistheorie kann entweder als eigenständiges Kapitel oder als Teil der Differentialrechnung in mathe online integriert werden.
Die Kostenfunktion gibt die Produktionskosten pro Stück an. Sie wird aus "Meßwerten" mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt werden. Ihr Verlauf kann linear, quadratisch oder kubisch (S-förmig) sein. Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate ist auch im Kapitel Statistik ein wichtiges Thema.
Kennt man die Kostenfunktion, kann man auch das sogenannte Betriebsoptimum bestimmen. Das Betriebsoptimum ist jene Produktionsmenge, für die die Kosten pro Stück am geringsten sind.
Die Kostenfunktion setzt sich aus zwei Summanden zusammen. Den Fixkosten
Die Grenzkosten geben Antwort auf die Frage, wie stark die Kosten im Durchschnitt ansteigen, wenn die Produktionsmenge erhöht wird (durchschnittlicher Kostenzuwachs pro zusätzlicher Mengeneinheit).
Die Erlösfunktion ist definiert durch die Vorschrift: Erlös = Preis x Stück. Dabei wird der Preis als konstant angenommen. Diese Voraussetzung ist bei atomistischer Konkurrenz gegeben. Von atomistischer Konkurrenz spricht man, wenn viele Anbieter ein gleichwertiges Produkt verkaufen. Ein einzelner Anbieter kann dann den Preis nicht beeinflussen und wird daher versuchen möglichst hohe Stückzahlen abzusetzen. Dabei muss er aber berücksichtigen, dass mit höheren Produktionsmengen auch die Kosten steigen. Gefragt ist also die "günstigste" Produktionsmenge. Dazu definiert man neben der Erlösfunktion noch die Erfolgsfunktion und sucht dann nach dem optimalen Erfolg (Erfolg = Erlös - Kosten). Das ist wiederum eine Anwendung der Differentialrechnung.
Mathematischer Inhalt: Die Ermittlung des Betriebsoptimums und des Betriebsminimums sind eine Anwendung der Differentialrechnung (Kurvendiskussion). Für die Berechnung des Betriebsoptimums ist es notwendig, das Minimum der Funktion
K(x)/x (das sind die Kosten pro Stück) zu finden. Für kubische Kostenfunktionen ergibt sich im allgemeinen eine Gleichung, die mit schulischen Mitteln nur mehr numerisch lösbar ist. Das übliche Verfahren zur numerischen Lösung ist das Newton-Verfahren.Die Grenzkosten entsprechen der Ableitung der Kostenfunktion. Im Betriebsoptimum müssen die Grenzkosten gleich den Stückkosten sein.
Zur Berechnung des optimalen Erfolges bemüht man wieder die Differentialrechnung (Nullsetzen der ersten Ableitung). Die Erlösfunktion schneidet die Kostenfunktion in zwei Punkten. Diese Punkte sind die sogenannten Gewinnschwellen.
Vorschläge zur Gestaltung
In diesem Kapitel wird der Unterschied zwischen einfachem Zins und Zinseszins herausgearbeitet. Ein weiterer wichtiger Inhalt ist die Frage nach äquivalenten Zinssätzen, also die Umrechnung zwischen antizipativem und dekursivem Zinssatz.
In der Rentenrechnung werden regelmäßige Zahlungen gleicher Höhe behandelt. Es werden Formeln für den Gesamtwert der Rente zu verschiedenen Zeitpunkten (am Anfang bzw. am Ende der Rentendauer) entwickelt. Von großer Bedeutung ist die Formel für die Rentenrate, da sich damit Kreditraten berechnen lassen. Mit den hergeleiteten Formeln lassen sich Erträge beim Prämiensparen und Bausparen sowie Kreditraten für Kleinkredite berechnen.
Mathematischer Inhalt: Mathematisch fällt die Finanzmathematik am ehesten ins Kapitel Exponentialfunktionen und Potenzrechnung. Die Probleme in der Anwendung liegen meist im nicht ausreichenden Verständnis der Begriffe und in der daraus resultierenden Schwierigkeit, die richtigen Formeln auszuwählen. Ein weiteres Problem ist, dass die auftretenden Formeln relativ unhandlich sind und mühsam mit dem Taschenrechner einzugeben. Die Ergebnisse der Finanzmathematik widersprechen des öfteren den Erwartungen, da die auftretenden Berechnungen alle nichtlinear sind und wir uns gemeinhin auf die Formel "je mehr, desto mehr" verlassen.
Vorschläge zur Gestaltung
Um den Benutzern von mathe online beim Verstehen der Begriffe zu helfen, könnte man "Black-Boxes" für die einzelnen Bereiche der Finanzmathematik entwickeln. Diese Black-Boxes sollten dem Lernenden die Rechenarbeit abnehmen, damit er sich ganz auf die Auswahl der richtigen Black-Box (und damit der richtigen Formel) konzentrieren kann. Die Black-Box frägt die benötigten Eingaben (Zinssatz, Laufzeit, ...) ab. Die wesentliche Aufgabe, die dem Benutzer dann noch verbleibt, ist die Auswahl der richtigen Box und die Eingabe der entsprechenden Zahlen. Das entspricht auch der Anwendungssituation im Beruf, da die Berechnung sehr leicht mit Tabellenkalkulationsprogrammen durchgeführt werden können. Folgende Black-Boxes wären sinnvoll:
In der beschreibenden Statistik geht es um die Erhebung, Auswertung und grafische Darstellung von Daten. Es werden die Zentralmaße und Streuungsmaße erarbeitet. Ein weiterer Teil der beschreibenden Statistik ist die Regressions- und Korrelationsanalyse. Diese beschäftigt sich mit der Bestimmung von Zusammenhängen zwischen Merkmalen. Statistik wird auf die eine oder andere Art von den meisten Firmen betrieben. Sie ist oft die Grundlage für Investitionsentscheidungen und sollte daher gut verstanden werden.
Unter die Zentralmaße fallen die Begriffe "arithmetischer Mittelwert", "gewichteter Mittelwert", "Modus" und "Median". Wichtig ist, die Begriffe und deren unterschiedliche Bedeutung einerseits unterscheiden zu können und andererseits auch deren Beschränkungen zu kennen (was sagt der Mittelwert wirklich aus?).
Der Mittelwert allein erlaubt noch keine zuverlässigen Aussagen über eine Datenreihe. Oft streuen die einzelnen Werte sehr stark um den Mittelwert. Daher ist es wichtig, die Spannweite (größter weniger kleinster Wert) zu kennen. Die mittlere Abweichung der Werte vom Mittelwert heißt Standardabweichung und liefert eine Aussage darüber, ob die Werte eher nahe beieinander liegen oder weit verstreut sind.
Mit Hilfe der Regressionsanalyse lässt sich feststellen ob zwischen zwei erhobenen Merkmalen in den Daten ein Zusammenhang besteht oder nicht (z.B. Arbeitslosenrate und Inflationsrate). Im einfachsten Fall ist der Zusammenhang linear und es ist möglich, die Regressiongerade mit Hilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate zu bestimmen. Der Korrelationkoeffizient gibt Auskunft darüber wie stark der Zusammenhang zwischen den Merkmalen ist.
Mathematischer Inhalt: Die beschreibende Statistik ist ein eigenständiges Kapitel der Mathematik. Sie erfordert keine speziellen höheren mathematischen Kenntnisse und ist vor allem für konkrete Anwendungen sehr wichtig.
Vorschläge zur Gestaltung
